Actualmente estoy leyendo la edición de Oliver Bryne de Euclid's Elements , y en The Elements muchas proposiciones aritméticas se prueban geométricamente, y me parece que los números siempre se tratan como algo que está ligado a un objeto geométrico (ya sea la longitud de un segmento, el área de una forma, o el ángulo entre dos líneas) y nunca como entidades independientes de una realización geométrica. Por ejemplo, Euclides nunca parece mencionar el producto de más de tres cantidades, lo que indicaría que su idea del producto estaba enraizada en su interpretación geométrica (además de que probablemente se estaba limitando a solo tres dimensiones).
Euclides también clasifica las cantidades como pertenecientes a uno de cuatro "tipos": lineales , superficiales , sólidos y angulares , y nunca suma dos cantidades de diferentes tipos, lo que indica que realmente pensó en ellas como de naturaleza distinta. Para mí, esto recuerda mucho al análisis dimensional, pero me lleva a preguntarme si Euclides pensaba que las cantidades consistían en un número y una especie (o un número y una unidad, en términos modernos), o si el número en sí era de un cierto tipo. En otras palabras, si se le presenta un segmento de longitud y un cuadrado de area , ambos s se han considerado iguales o diferentes?
Además, sé que los eruditos pitagóricos representaban los números enteros como puntos dispuestos en triángulos, rectángulos y otras formas, lo que permitía pensar en ellos de formas geométricas simples.
Esto me lleva a preguntarme si los matemáticos griegos de la Antigüedad alguna vez consideraron los números como objetos matemáticos independientes, que no eran necesariamente cantidades geométricas. El uso de puntos por parte de los pitagóricos me hace pensar que podría ser el caso, pero aun así los colocaron en formas geométricas, por lo que todavía no tengo claro.
(No solo estoy preguntando si Euclides o los pitagóricos alguna vez consideraron los números como tales, sino si hubo un punto en el vasto período que es la Antigüedad griega donde los números se consideraron separables de la geometría).
La respuesta es sí. Hubo una división. En primer lugar, para las matemáticas griegas (y mucho después de ellas) los "números" eran números enteros. Los "números racionales" se llamaban fracciones y no existía ningún concepto de número real. Por lo tanto, las matemáticas se dividieron esencialmente en dos áreas independientes: la aritmética y la geometría. Diofanto escribió sobre aritmética, nunca menciona la interpretación geométrica de sus problemas, y no se sabe si estaba al tanto de tal interpretación. (Por nomenclatura moderna su tema de investigación pertenece a la geometría algebraica). Apolonio escribió sobre geometría y nunca menciona los números. (Desde el punto de vista moderno, es otro fundador de la geometría algebraica). Euclides escribió sobre ambos temas, pero sus libros de aritmética están separados de sus libros de geometría y hay poca interacción.
Por supuesto, personas como Euclides y Arquímedes tenían una buena comprensión intuitiva del concepto de número real, y tenían una teoría de las proporciones cuando discutían cosas como longitudes y áreas, y lo que llamamos números irracionales. Esta teoría de las proporciones se utilizó hasta el siglo XVIII.
Observación. Recomiendo leer a Euclides con un buen comentario moderno escrito por un matemático, en lugar de un historiador. El mejor desde mi punto de vista es el de Robin Hartshorne.
Si consideras a Diofanto "antiguo", entonces la respuesta es "no". En su "Aritmética", los números no están necesariamente relacionados con la geometría o la física. Para Pitágoras, en efecto, los números no existían sin la interpretación de la geometría o la física.
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