Ejemplo de un espacio topológico que no es ni secuencial ni T0T0T_0

Para un ejemplo muy elemental, dejemos$Y$sea ​​un conjunto incontable,$y_0$y$y_1$distintos puntos de$y$, y$p$un punto no en$Y$. Dejar$X=Y\cup\{p\}$,$\mathscr{U}=\wp(Y\setminus\{y_0,y_1\})$, y$\mathscr{V}=\big\{U\cup\{y_0,y_1\}:U\in\mathscr{U}\big\}$. Finalmente, deja

entonces$\tau$es una topología sobre$X$. cada miembro de$\tau$contiene ambos o ninguno de los puntos$y_0$y$y_1$, entonces$\langle X,\tau\rangle$no es$T_0$.$Y$es secuencialmente cerrada, ya que las sucesiones convergentes en$Y$son aquellos que eventualmente son constantes o eventualmente en el conjunto$\{y_0,y_1\}$, pero$p\in\operatorname{cl}_XY$, entonces$Y$no está cerrado en$X$.

Uno que no sea secuencial pero que aún tenga secuencias convergentes no triviales se puede obtener haciendo$Y=\omega_1+1$con la topología de orden$\tau'$y$p$ser un punto no en$Y$. Dejar$X=Y\cup\{p\}$, y deja

entonces$\langle X,\tau\rangle$no es$T_0$, porque todo conjunto abierto contiene ambos o ninguno de los puntos$0$y$p$, y no es secuencial, porque$X\setminus\{\omega_1\}$es un conjunto secuencialmente cerrado que no es cerrado.

Cada uno de estos es el resultado de aplicar una 'máquina' muy simple a un espacio arbitrario no secuencial$\langle Y,\tau\rangle$. arreglar algunos$y_0\in Y$, dejar$Z=\{0,1\}$tenga la topología indisceta, y sea$X=(Y\times Z)/{\sim}$, dónde$\langle y_1,z_0\rangle\sim\langle y_2,z_1\rangle$si y solo si cualquiera$\langle y_1,z_0\rangle=\langle y_2,z_1\rangle$, o$y_1=y_2\ne y_0$. Esto simplemente duplica el punto$y_0$, convirtiéndolo en dos puntos distintos con nbhds idénticos en$X$, de una manera que$Y$es el cociente de Kolmogorov de$X$.

De hecho, es cierto en general que si$X$es no secuencial, entonces el cociente de Kolmogorov$Y$de$X$es no secuencial, por lo que cada ejemplo de un no secuencial, no$T_0$el espacio se puede obtener "engordando" un$T_0$espacio no secuencial, aunque no necesariamente en un solo punto.