El límite de una variedad es un subconjunto cerrado.

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El límite de una variedad es un subconjunto cerrado.

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palio

Queremos demostrar que la frontera $\partial M$ de un $n-$ la variedad M es un subconjunto cerrado de la variedad. Mostramos que su complemento $M\setminus\partial M$ está abierto en $M$ . De hecho, cada punto $x \in M\setminus\partial M$ tiene un barrio abierto $V_x\subseteq M$ homeomorfo a $\mathbb R^n$ . Solo queda demostrar que $V_x$ yace enteramente en $M\setminus \partial M$ Lo que significa que $V_x\cap \partial M=\emptyset$ . ¡Gracias por su ayuda!

EDITAR: en una variedad con límite, cada punto tiene una vecindad abierta que es homeomorfa a $\mathbb R^n$ o para $\mathbb R^n_+=\{(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\;|\; x_n\ge 0\}$ , los puntos que tienen vecindades abiertas homeomorfas a $\mathbb R^n_+$ forman el límite de la variedad.

usuario99914

¿Cómo encuentras tu

V_{x}

$V_x$ ?

palio

Es por definición de un punto

usuario99914

¿Puede incluir también la definición de "múltiple con límite" en su pregunta?

palio

Incluí una definición, ¡gracias!

usuario99914

Tu definición no es del todo correcta. Los puntos límite son aquellos puntos que se encuentran en

x_{n} = 0

$x_n = 0$ . (hay puntos en

R_{+}^{n}

$\mathbb R^n_+$ que no son puntos límite).

alex ravski

Pista: cada punto de

V_{x}

$V_x$ tiene un vecindario abierto homeomorfo a

R^{n}

$\mathbb R^n$ .

palio

@Alex Ravsky: estás diciendo implícitamente que

V_{x}

$V_x$ está completamente en

M ∖ \partial M

$M\setminus \partial M$ , de lo contrario puntos de

V_{x}

$V_x$ que yacen en el límite

\partial M

$\partial M$ tienen vecindarios homeomorfos a

R_{+}^{n}

$\mathbb R^n_+$ no

R^{n}

$\mathbb R^n$ .

palio

podemos simplemente tomar

V_{x} \cap (M ∖ \partial M)

$V_x\cap (M\setminus \partial M)$ ser el barrio abierto que contiene

x

$x$ ?

Respuestas (1)

El límite de una variedad es un subconjunto cerrado.

¿Puede incluir también la definición de "múltiple con límite" en su pregunta?
Tu definición no es del todo correcta. Los puntos límite son aquellos puntos que se encuentran en $x_n = 0$ . (hay puntos en $\mathbb R^n_+$ que no son puntos límite).
Pista: cada punto de $V_x$ tiene un vecindario abierto homeomorfo a $\mathbb R^n$ .
@Alex Ravsky: estás diciendo implícitamente que $V_x$ está completamente en $M\setminus \partial M$ , de lo contrario puntos de $V_x$ que yacen en el límite $\partial M$ tienen vecindarios homeomorfos a $\mathbb R^n_+$ no $\mathbb R^n$ .
podemos simplemente tomar $V_x\cap (M\setminus \partial M)$ ser el barrio abierto que contiene $x$ ?

Pablo escarcha · Answer 1

Esto es obvio. Dejar $x \in M \setminus \partial M$ . Existe un barrio abierto $V$ de $x$ en $M$ que es homeomorfo a $\mathbb R^n$ . Entonces cualquier $y \in V$ tiene la misma propiedad, por lo tanto $V \subset M \setminus \partial M$ .

Por cierto, tu definición del límite no es correcta. Llevar $M = \mathbb R^n_+$ . Entonces cada uno $x \in \mathbb R^n_+$ tiene $\mathbb R^n_+$ como un vecindario abierto que es homeomorfo $\mathbb R^n_+$ . Una definición correcta es esta: Un punto $p \in M$ se llama punto límite si existe un homeomorfismo $\phi : U \to \mathbb R^n_+$ definido en una vecindad abierta $U$ de $p$ en $M$ tal que $\phi(p) \in \partial \mathbb R^n_+ =\mathbb R^{n-1} \times \{ 0\}$ .

te refieres a $\partial \mathbb R^n_+ =\mathbb R^{n-1} \times \{ 0\}$ .
Es fácil ver que el interior del colector está abierto en $M$ , pero - suponiendo que $M$ es una subvariedad de $\mathbb R^d$ con límite: ¿estará abierto en el espacio ambiental? $\mathbb R^d$ ¿también?

El límite de una variedad es un subconjunto cerrado.

palio

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alex ravski

palio

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