Una duda de álgebra lineal

Question

Una duda de álgebra lineal

Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal
matrices-simétricas
matrices de proyección
valores propios-vectores propios

roydiptajit

Supongamos que tenemos un $3$ -espacio vectorial tenue $V$ y elegimos cualquier conjunto de bases no ortogonal ${v_1,v_2,v_3}$ . Ahora consideramos la transformación lineal que proyecta cualquier vector en $V$ abarcar $(v_1,v_2)$ . Claramente, la representación matricial de esta transformación es

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Los vectores propios correspondientes al valor propio

1

$1$ son

v_{1}, v_{2}

${v_1,v_2}$ , y correspondiente a

0

$0$ es

v_{3}

$v_3$ . Como la matriz es simétrica, debe tener vectores propios ortogonales. Pero

⟨ v_{1}, v_{3} ⟩

$\langle v_1,v_3\rangle$ debe ser distinto de cero ya que no son ortogonales. ¿Por qué es esto?

Entonces por

La matriz que has escrito es con respecto a la base

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

$\{v_1,v_2,v_3\}$ . Eso es todo. Los vectores propios de la matriz que ha escrito son

e_{1}, e_{2}

$e_1,e_2$ y

e_{3}

$e_3$ . Con

e_{1}, e_{2}

$e_1,e_2$ correspondiente al valor propio 1 y

e_{3}

$e_3$ correspondiente a 0.

gerry myerson

La matriz que has anotado representa la transformación con respecto a la base $v_1,v_2,v_3$ . Con respecto a esa base,

v_{1}

$v_1$ es

(1, 0, 0)

$(1,0,0)$ y

v_{3}

$v_3$ es

(0, 0, 1)

$(0,0,1)$ , y esos son ortogonales. (@¡Soby me ganó por unos segundos!)

roydiptajit

@Gerry Myerson, ¿entonces solo consideramos el espacio de coordenadas en esto que tiene una base estándar y son ortonormales? ¿Puedo decir que cualquier matriz simétrica con base no ortogonal tiene vectores propios ortonormales en el espacio de coordenadas, pero cuando lo veo en términos de la base real, puede que no sea así? Estoy confundido cuando consideramos el espacio de coordenadas y cuando el espacio vectorial real

roydiptajit

Gracias @MorganRodgers así que aquí es donde cometí un error tonto, esto generó mi confusión...

roydiptajit

Sí, esto aclara la imagen, gracias a todos..

Respuestas (1)

Una duda de álgebra lineal

La matriz que has escrito es con respecto a la base $\{v_1,v_2,v_3\}$ . Eso es todo. Los vectores propios de la matriz que ha escrito son $e_1,e_2$ y $e_3$ . Con $e_1,e_2$ correspondiente al valor propio 1 y $e_3$ correspondiente a 0.
La matriz que has anotado representa la transformación con respecto a la base $v_1,v_2,v_3$ . Con respecto a esa base, $v_1$ es $(1,0,0)$ y $v_3$ es $(0,0,1)$ , y esos son ortogonales. (@¡Soby me ganó por unos segundos!)
@Gerry Myerson, ¿entonces solo consideramos el espacio de coordenadas en esto que tiene una base estándar y son ortonormales? ¿Puedo decir que cualquier matriz simétrica con base no ortogonal tiene vectores propios ortonormales en el espacio de coordenadas, pero cuando lo veo en términos de la base real, puede que no sea así? Estoy confundido cuando consideramos el espacio de coordenadas y cuando el espacio vectorial real
Gracias @MorganRodgers así que aquí es donde cometí un error tonto, esto generó mi confusión...

Theo Bendit · Answer 1

Estás tratando de invocar el siguiente resultado:

Suponer $A$ es una matriz real simétrica (o una matriz compleja hermitiana, si lo prefiere). Entonces los espacios propios de $A$ son ortogonales.

Esto es cierto. La matriz que proporcionó tiene espacios propios ortogonales $\operatorname{span}\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$ y $\operatorname{span}\{(0, 0, 1)\}$ . Tenga en cuenta que estos son subespacios de $\Bbb{R}^3$ , que puede o no tener nada que ver con el espacio interior del producto $V$ . Por lo tanto, no es correcto decir que estos son espacios propios de su operador de proyección $P$ .

Si desea el equivalente al resultado anterior para espacios de productos internos generales, este es el resultado:

Suponer $V$ es un espacio de producto interno de dimensión finita, y $T : V \to V$ es autoadjunto. Entonces los espacios propios de $T$ son ortogonales.

En nuestro caso, el mapa de proyección

PAG : a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + a_{3} v_{3} \mapsto a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}

$P : a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 \mapsto a_1 v_1 + a_2 v_2$ no es autoadjunto si

v_{3}

$v_3$ no es ortogonal a

v_{1}

$v_1$ y

v_{2}

$v_2$ . Supongamos que no es ortogonal a

v_{1}

$v_1$ . Entonces

⟨ PAG v_{1}, v_{3} ⟩ = ⟨ v_{1}, v_{3} ⟩ \neq 0 = ⟨ v_{1}, 0 ⟩ = ⟨ v_{1}, PAG v_{3} ⟩ .

$\langle Pv_1, v_3 \rangle = \langle v_1, v_3 \rangle \neq 0 = \langle v_1, 0 \rangle = \langle v_1, Pv_3\rangle.$

Entonces, como ha observado, es perfectamente posible tomar un operador lineal que no sea autoadjunto a una matriz simétrica (o hermitiana), por medio de una base no ortonormal. Solo tenga en cuenta qué teoremas sobre espacios de productos internos requieren que las bases sean ortonormales para preservar las propiedades del espacio de productos internos.

Para que quede claro, como definimos estos operadores sobre $\mathbb{C}^n$ , auto adjunto y simétrico son equivalentes, ¿verdad?
Para ser muy claro, un operador $T$ en un espacio de producto interno complejo de dimensión finita $V$ es autoadjunto si y solo si $[T]_\beta^\beta$ es hermítica (¡no simétrica!) donde $\beta$ es una base ortonormal para $V$ . Si $V = \Bbb{C}^n$ , entonces la matriz estándar para $V$ es la matriz para $T$ con respecto a la base estándar, que es ortonormal, y por lo tanto $T$ es autoadjunto si y solo si la matriz estándar para $T$ es hermitiano.
De acuerdo, la base ortonormal es el criterio aquí, cualquier base no servirá

Una duda de álgebra lineal

roydiptajit

Entonces por

gerry myerson

roydiptajit

roydiptajit

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Theo Bendit

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Theo Bendit

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