Límite al efecto Oberth en un sobrevuelo supermasivo de Black Hole

Question

Límite al efecto Oberth en un sobrevuelo supermasivo de Black Hole

Alan Romero

Para aclarar esta pregunta, aquí están los detalles de la situación que deseo considerar.

Una nave espacial realiza una asistencia gravitacional motorizada , en la que enciende motores en una aproximación cercana al cuerpo.
Todos debemos ser conscientes de que los agujeros negros giratorios pueden actuar directamente sobre un transeúnte, y tanto por el enfoque en supermasivo como por simplicidad matemática, me gustaría asumir el agujero negro estándar de Schwarzschild:
Es mejor asumir que la nave espacial comienza con $v_{infinity}=0$ , es decir, se supone que su velocidad de entrada antes de entrar en el pozo de gravedad es mínima.
La nave espacial se acerca lo más posible sin caerse, o lo más cerca posible obtiene el máximo efecto Oberth .
quiero convertir $\Delta v$ los motores de las naves espaciales generan hasta el final $V$ después de que haya salido del pozo de gravedad.

Para resumir, quiero alguna expresión para un efecto Oberth relativista que se aplicaría en el caso más extremo.

pensamiento preliminar

Pregunta anterior:

¿Qué sucede con las órbitas en radios pequeños en la relatividad general?

Supongo que un enfoque lógico sería seguir el mismo enfoque que el cálculo del efecto Oberth para una órbita parabólica basada en el balance de energía. Pero si te vuelves muy relativista, los términos de gravitación y energía cinética pueden volverse bastante complejos, aquí está la gravitación:

V (r) = - \frac{GRAMO METRO metro}{r} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{GRAMO (METRO + metro) L^{2}}{C^{2} m r^{3}} .

$V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}.$

También podría suponer que el enfoque óptimo está en el radio IBCO de 3/2 veces el radio de Schwarzschild. Pero esto todavía deja bastantes cosas para conectar, y tengo dudas sobre la validez del enfoque en general.

Diablos, solo para exponerlo, digamos que uso la ecuación de Oberth no relativista asumiendo la distancia de aproximación de IBCO:

V = Δ v \sqrt{1 + \frac{2 V_{Esc}}{Δ v}} = Δ v \sqrt{1 + \sqrt{\frac{GRAMO METRO}{3 / 2 r_{s}}} \frac{2}{Δ v}} = Δ v \sqrt{1 + \frac{2 C}{3 \sqrt{3} Δ v}} .

$V=\Delta v{\sqrt {1+{\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}} =\Delta v{\sqrt {1+{ \sqrt{\frac{GM}{3/2 r_s}} \frac {2}{\Delta v}}}} =\Delta v{\sqrt {1+ { \frac {2 c}{3 \sqrt{3} \Delta v}}}}.$

Esto daría un multiplicador de algo así como un factor de 100 para una quemadura de 10 km/s. Pero es casi seguro que esto es incorrecto, aplicado fuera de su rango de aplicabilidad.

Juan Dvorak

Las tensiones mecánicas a las que se someterá su nave van a ser... significativas.

Keith McClary

Este es el mismo principio que el mecanismo de Hills . La velocidad de escape es

\approx \sqrt{v Δ v}

$\approx \sqrt{v \Delta v}$ , con

Δ v

$\Delta v$ como lo defines y

v

$v$ la velocidad en el pozo de potencial.

PM 2 Anillo

No creo que sea una buena idea ignorar el giro del agujero negro, ya que es probable que sea muy grande. Vea el diagrama al final de esta respuesta: astronomy.stackexchange.com/a/20292/16685

Respuestas (1)

Límite al efecto Oberth en un sobrevuelo supermasivo de Black Hole

Las tensiones mecánicas a las que se someterá su nave van a ser... significativas.
Este es el mismo principio que el mecanismo de Hills . La velocidad de escape es $\approx \sqrt{v \Delta v}$ , con $\Delta v$ como lo defines y $v$ la velocidad en el pozo de potencial.
No creo que sea una buena idea ignorar el giro del agujero negro, ya que es probable que sea muy grande. Vea el diagrama al final de esta respuesta: astronomy.stackexchange.com/a/20292/16685

Anders Sandberg · Answer 1

También estoy interesado en la respuesta a esta pregunta, esto es lo lejos que llegué:

La nave espacial sigue una geodésica, y si hace un impulso impulsivo en un punto, ahora seguirá una geodésica diferente desde ese punto pero con una velocidad 4 diferente. La trayectoria entrante comienza con velocidad. $v_0$ en el infinito y el nuevo termina en la velocidad $v_1$ , por lo que el impulso general de Oberth es $|v_1-v_0|$ .

Las ecuaciones estándar de los libros de texto para las geodésicas de Schwarzschild similares al tiempo son:

\frac{d t}{d τ} = \frac{mi}{metro C^{2}} \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}}

$\frac{dt}{d\tau}=\frac{E}{mc^2}\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}$

\frac{d θ}{d τ} = \frac{L}{METRO} \frac{1}{r^{2}}

$\frac{d\theta}{d\tau} = \frac{L}{M}\frac{1}{r^2}$

{(\frac{d r}{d τ})}^{2} = \frac{{mi}^{2}}{{metro}^{2} C^{2}} - (1 - \frac{r_{s}}{r}) (C^{2} + \frac{L^{2}}{{METRO}^{2}} \frac{1}{r^{2}})

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{E^2}{m^2c^2} - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{M^2}\frac{1}{r^2}\right)$ dónde

E

$E$ es la energía de la nave,

L

$L$ su momento angular,

r_{s}

$r_s$ el radio de Schwarzschild,

M

$M$ la masa del cuerpo central y

τ

$\tau$ momento apropiado. La masa de la nave espacial

m ≪ M

$m\ll M$ .

El potencial efectivo es

V (r) = - \frac{GRAMO METRO metro}{r} + \frac{L^{2}}{2 GRAMO METRO r^{2}} - \frac{L^{2}}{C^{2} r^{3}} :

$V(r)=-\frac{GMm}{r}+\frac{L^2}{2GMr^2} -\frac{L^2}{c^2r^3}:$ la partícula se mueve como

\frac{1}{2} metro {(\frac{d r}{d τ})}^{2} = [\frac{{mi}^{2}}{2 metro C^{2}} - \frac{metro C^{2}}{2}] + V (r) .

$\frac{1}{2}m\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\left[\frac{E^2}{2mc^2} - \frac{mc^2}{2}\right] + V(r).$ Permite diferentes tipos de órbitas dependiendo de (

E, L

$E,L$ ). Los que nos importan son los que no tienen límites en el pasado o el futuro.

E

$E$ debe ser mayor que

m c^{2}

$mc^2$ (de lo contrario no puede escapar al infinito).

Entonces, para hacer la maniobra, dejamos caer una nave desde el infinito hacia el agujero. Comienza con la velocidad

v_{0} = \sqrt{\frac{{mi}^{2}}{{metro}^{2} C^{2}} - C^{2}}

$v_0=\sqrt{\frac{E^2}{m^2c^2}-c^2}$ en

r = \infty

$r=\infty$ . Se aproxima hasta que el lado derecho de la ecuación de movimiento se vuelve cero en

r_{t u r n} (E, L)

$r_{turn}(E,L)$ . En este punto cambiamos la velocidad para obtener

E^{'}, L^{'}

$E',L'$ y la nave retrocede hasta el infinito; calculamos su velocidad

v_{1} = \sqrt{\frac{{mi}^{' 2}}{{metro}^{2} C^{2}} - C^{2}}

$v_1 = \sqrt{\frac{E'^2}{m^2c^2}-c^2}$ y tendrá nuestra respuesta

v_{1} - v_{2}

$v_1-v_2$ .

La parte donde me quedo atascado es cómo calcular qué $E',L'$ implican diferentes impulsos. Además, los aumentos realistas cambiarán $m$ a $m'$ si la masa expulsada es significativa.

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Alan Romero

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Juan Dvorak

Keith McClary

PM 2 Anillo

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Anders Sandberg

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