¿Hay algún problema con esta simulación numérica de las órbitas de fotones de Schwarzschild?

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¿Hay algún problema con esta simulación numérica de las órbitas de fotones de Schwarzschild?

Yukterez

Esta es una pregunta de seguimiento a la respuesta dada en ¿Cuál es la fuerza gravitatoria exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas? . Desafortunadamente, el autor no ha estado en línea durante algunos años y, por lo tanto, ya no responde a los comentarios.

En la respuesta dada allí, la ecuación diferencial de movimiento en coordenadas de Schwarzschild fue

\ddot{r} = - \frac{GRAMO metro}{r^{2}} + r {\dot{θ}}^{2} - \frac{3 GRAMO metro}{C^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 3} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

para la aceleración radial y

\ddot{θ} = - \frac{2}{r} \dot{r} \dot{θ}

$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$

para la aceleración angular. Cuando trazo la trayectoria de un objeto cercano a la velocidad de la luz, con esta fórmula obtengo una órbita estable en $r_0=2 r_s$ :

Pero ¿no debería ser eso en $r_0=1.5 r_s$ , la esfera de fotones ? Con esa fórmula la partícula en órbita caería muy rápidamente en el agujero negro, por ejemplo, con $v_0=0.999c$ a $r_0=1.6 r_s$ :

Cuando reemplazo el término 3Gm/c² con 2GM/c² para que

\ddot{r} = - \frac{GRAMO metro}{r^{2}} + r {\dot{θ}}^{2} - \frac{2 GRAMO metro}{C^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 2} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

Obtengo el resultado esperado con una órbita estable justo en la esfera de fotones (velocidad inicial nuevamente $v_0=0.999c$ ):

Entonces mi pregunta es: ¿la fórmula es incorrecta y el factor 3 debe reemplazarse con un factor de 2, o hay diferentes distancias mínimas para órbitas estables, una para partículas y otra para fotones? ¿O me perdí de algo más? Wikipedia dice:

El radio de la esfera de fotones, que también es el límite inferior para cualquier órbita estable , es $1.5 r_s$

entonces esperaría que también las partículas con masa permanezcan en órbita si están cerca de la velocidad de la luz y ligeramente por encima de la esfera de fotones.

Para la reproducción del problema, está disponible el código de Mathematica como creo que es correcto (con el factor 2 en lugar de 3)

Respuestas (2)

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knzhou · Answer 1

Parece que hay varias confusiones aquí. Las partículas masivas y sin masa se comportan cualitativamente de manera diferente, incluso si la partícula masiva viaja muy rápido.

El radio mínimo para una órbita estable para una partícula masiva es $3 r_s$ . Las órbitas circulares por encima de este radio son todas estables.
Las partículas sin masa solo tienen órbitas circulares en la esfera de fotones, $(3/2) r_s$ . Estas órbitas no son estables, Wikipedia está equivocada. Las partículas sin masa también obedecen a una ecuación de movimiento diferente.

La otra confusión es que lo que muestran sus simulaciones no tiene nada que ver con la estabilidad. Tus partículas están cayendo en el centro porque no les estás dando la velocidad inicial correcta. Es como la mecánica clásica: si de repente quitaras la mitad de la velocidad de la Tierra, comenzaría a caer hacia adentro. Para inicializarlos a la velocidad inicial correcta, debe resolver para $\dot{\theta}$ de modo que $\ddot{r} = 0$ .

Esto contrasta con el caso sin masa, donde la velocidad inicial ya está determinada (es decir, es la velocidad de la luz).

Entonces el factor de 3 en $\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - ({\color{red} 3} G m/c^2)\dot{\theta}^2$ es correcto para partículas masivas?
Gracias y +1. Sin embargo, todavía no entiendo por qué obtengo mi órbita estable para partículas en r0 = 2rs con v0 = 0.999c y no 3rs, ya que la velocidad angular inicial que doy es v0/r0 y esta debería ser la duración y el tiempo adecuados y como yo entiéndalo, por lo tanto, también la velocidad adecuada, pero espero que también lo descubra ...
Muy bueno excepto por una cosa; probamos la estabilidad perturbando v y viendo qué sucede.
Su respuesta realmente ayudó, pero ¿está seguro de que "El radio mínimo para una órbita estable para una partícula masiva es 3 rs"? Cuando compenso todas las contracciones, todavía son 1.5 rs como dice Wikipedia. ¿Tiene alguna cotización para las 3 rs, o mi cálculo (ver más abajo) es correcto ahora?
@СимонТыран No estoy seguro de lo que quieres decir. En cuanto a su respuesta, parece que el $1.5 r_s$ La órbita es inestable, como se esperaba.

Yukterez · Answer 2

Gracias a la pista dada por knzhou, descubrí que si uno quiere darle a la partícula una velocidad inicial adecuada de $v_0$ , la velocidad inicial en términos de coordenadas de Schwarzschild $v_i$ sería entonces

\dot{θ} (0) \cdot r (0) = \frac{{v ⊥}_{0}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / C^{2}}}

$\dot{\theta}(0)\cdot r(0) = \frac{{v\perp}_0}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

para la componente transversal, y

\dot{r} (0) = \frac{{v ∥}_{0} \cdot \sqrt{1 - r_{s} / r_{0}}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / C^{2}}}

$\dot{r}(0) = \frac{{v\parallel}_0\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

para la componente radial ya que hay que compensar la contracción gravitatoria de la longitud (azul) y la contracción de la longitud debida a la velocidad de la partícula (verde) con respecto al tiempo propio de la partícula.

Ahora obtengo los resultados esperados: una órbita circular con velocidad inicial transversal alrededor de la esfera de fotones y una partícula estacionaria con velocidad inicial hacia afuera alrededor del horizonte de eventos cuando v0 se establece cerca de c.

Tal vez podría agregar la velocidad en tiempo de coordenadas como uno de los parámetros que verifica debajo de la simulación. Solo para asegurarse de que el objeto pierda velocidad como se supone que debe hacerlo y luego se detenga en el radio de Schwarzschild.
La pregunta tiene 3 años, mientras tanto, ya construí un simulador que muestra la velocidad local y retrasada y que puede cambiar del tiempo adecuado al tiempo coordinado como parámetro de animación, consulte kerr.newman.yukterez.net

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