¿Cuál es la relación entre la velocidad orbital y la velocidad de escape en situaciones fuertemente relativistas?

La velocidad de escape local es

$$v_{esc} = \sqrt{\text{2 G M}/\text{r}}$$

En el infinito observas que la velocidad es más lenta por un factor de

$$1-\text{r}_s/\text{r}$$

entonces en el infinito observas

$$\text{v}_{esc} = \sqrt{\text{2 G M}/\text{r}} \cdot (1-\text{r}_s/\text{r})$$

debido a la contracción de la longitud gravitacional radial a la masa y la dilatación del tiempo gravitacional en todas las direcciones.

La velocidad orbital local es

$$v_{orb} = \sqrt{\text{G M}/\text{r}}/\sqrt{1-\text{r}_s/\text{r}}$$

que en el infinito se observa que es más lento por un factor de

$$\sqrt{1-\text{r}_s/\text{r}}$$

En el infinito simplemente observas

$$\text{v}_{orb} = \sqrt{\text{G M}/\text{r}}$$

Entonces, el observador en el infinito debería observar una órbita de partículas en órbita con su velocidad newtoniana, mientras que localmente esta velocidad es mayor.

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Los gráficos muestran las velocidades en términos de v/c y la coordenada r de Schwarzschild en unidades de GM/c². La izquierda es el sistema de un observador local, y la derecha, como un observador en el infinito, vería las velocidades retardadas de Shapiro.

Localmente la velocidad de escape es igual a la velocidad orbital en r=4GM/c², mientras que en el infinito su igualdad se observa en r=2·(2+√2)=6,8284GM/c².

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En la esfera de fotones, un observador local observaría la partícula en órbita con c, mientras que un observador en el infinito la mediría más lentamente por un factor de √(1-2/3), es decir, con 0,577c.

Una partícula que escape cerca del horizonte de eventos necesitaría una velocidad radial local de c, y parecería tener una velocidad cero para el observador en el infinito.

Los diferentes factores para los componentes radial y transversal se deben a la contracción de la longitud gravitacional que es solo en dirección radial (hay más radio dentro del círculo que la circunferencia dividida por 2π).

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En resumen:

Localmente, la velocidad de escape radial de Einstein es la misma que la de Newton. En el infinito se observa más lento que eso.

También localmente, la velocidad orbital angular de Einstein es mayor que la de Newton, pero en el infinito se observa que es la misma que sería bajo Newton.

La velocidad de escape puede ser menor que la velocidad orbital, por lo tanto, las órbitas cerca de la esfera de fotones son inestables en el sentido de que si su velocidad no solo es transversal sino que se divide en un componente transversal y radial, escapará al infinito. Con Newton, solo obtendrías una órbita elíptica y todo lo demás permanecería igual.

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Radial:

Transversal:

Comparación con Newton:

El índice está en alemán, pero estoy seguro de que encontrará el local$v$y lo externo$\text{v}$(este último con retraso de Shapiro ).

Lectura adicional: Ecuación de movimiento y geodésicas, página 4, eq(9)

Código

Para un agujero negro estático descrito por la métrica de Schwarzschild, la velocidad de escape es:

$$v_e = c\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\sqrt{\frac{r_s}{r}} \tag{1}$$

y la velocidad orbital es:

$$v_o = c\sqrt{\frac{r_s}{2(r - r_s)}} \tag{2}$$

dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

Si los graficamos obtenemos:

Tenga en cuenta que el$x$el eje está en unidades de$r/r_s$es decir$2$medio$2r_s$,$3$medio$3r_s$etcétera. El radio$v_e/v_o$se traza en el eje de la izquierda y las velocidades$v_e$y$v_o$en el eje de la derecha.

A grandes distancias la relación$v_e/v_o$enfoques$\sqrt{2}$, que es el valor newtoniano, pero a medida que nos acercamos al agujero negro la relación cae. Se convierte en menos de uno en aproximadamente$r/r_s = 4.8$, y en la última órbita posible donde la velocidad orbital es$c$se ha reducido a aproximadamente$0.27$.

Esto probablemente parezca extraño a primera vista, pero se debe al hecho bien conocido de que cualquier objeto que cae se ralentiza a medida que se acerca al horizonte de sucesos y, de hecho, su velocidad tiende a cero en el horizonte. El objeto tardaría un tiempo infinito en alcanzar, y mucho menos cruzar, el horizonte de sucesos. Vea la pregunta ¿Cómo puede algo caer en un agujero negro visto desde un observador externo? para más sobre esto.

En relatividad general, la energía de un cuerpo de prueba en un campo gravitatorio esféricamente simétrico se puede escribir como:

$$E=mc^2\left(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})^2(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2})|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right).\tag1$$

o equivalente:

$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})(\hat{r}\cdot\hat{v})^2)+|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right)\tag2$

La condición para la velocidad de escape se puede establecer como que la velocidad debe ser tal que la energía del cuerpo de prueba debe ser la misma que para un objeto en reposo en el infinito,$E=mc^2$. Esto es lo mismo que decir que la expresión entre paréntesis debe ser igual a la unidad. Para un movimiento radial puro (2) se reduce a:

$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})}}}\right)\tag3$

Para que esta expresión sea igual a$E=mc^2$en el infinito debemos tener:

$1-\frac{2GM}{rc^2}=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2(1-2GM/(rc^2))}}\tag4$

que da la velocidad de escape si inicialmente te mueves en una dirección radial pura como:

$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}(1-\frac{2GM}{rc^2})\tag5$

que ya se han señalado en otras respuestas. Si, en cambio, desea conocer la velocidad de escape si comienza a moverse en una dirección no radial pura, como una órbita circular, y desea saber cuánto más rápido debe ir en la dirección en la que ya se está moviendo, puede ver que (2) en este caso se reduce a:

$$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\tag6$$

Para que (6) se reduzca a$E=mc^2$en el infinito debemos tener:

$$1-\frac{2GM}{rc^2}=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}\tag7$$

Lo que da la velocidad de escape si está configurando en una dirección no radial pura como:

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}(1-\frac{2GM}{rc^2})}\tag8$$

Dependiendo de la dirección en la que se mueva inicialmente, la expresión de la velocidad de escape variará. En esta respuesta, asumo una velocidad medida por un observador distante / en tiempo coordinado.

La velocidad orbital para un objeto en órbita circular en tiempo coordinado es la misma en GR cuando tienes simetría esférica como clásicamente:

$v=\sqrt{GM/r}\tag9$

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En la esfera de fotones a 1,5 veces el radio de Schwarzschild, la velocidad orbital del movimiento circular en tiempo coordinado (visto por un observador distante) es:

$v=c\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}$

Se puede decir que esto es igual a la velocidad de la luz porque en tiempo coordinado en un campo gravitacional esféricamente simétrico tienes:

$v_{light}=c(1-2GM/(rc^2))$

en la dirección radial y:

$v_{light}=c\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}$

en la dirección no radial pura.