¿Órbita circular no geodésica? [cerrado]

De N. Straumann, Relatividad General

Ejercicio 4.9: Calcular la aceleración radial para una órbita circular no geodésica en el espacio-tiempo de Schwarzschild. Demuestre que esto se vuelve positivo para r > 3 GRAMO METRO . Este resultado contrario a la intuición ha dado lugar a muchas discusiones.

Este es uno de esos problemas en los que no tengo ni idea de qué hacer. Como dice no geodésico, no puedo usar ninguna de las ecuaciones habituales. No sé qué ecuación resolver. tal vez lo resuelva ∇ γ ˙ γ ˙ = F con F alguna fuerza que hace γ no geodésico. Pero no sé a dónde ir desde allí si esa es la manera de hacerlo.

¿También algún enlace específico a las discusiones?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

EDITAR: Así que traté de resolver ∇ tu tu = F con las restricciones θ = π / 2 , tu θ = 0 y tu r = 0 . lionelbrits ha explicado también debo añadir tu ˙ r = 0 a mi lista Todo esto conduce a

( r S − 2 A r ) ( tu φ ) 2 + r S r 2 = F r
( A = 1 − r S / r , la notación es Schwarzschild estándar) El problema con esto es que el tu φ término es negativo para r > 3 metro . Entonces, en algún lugar, un letrero se arruinó y, por mi vida, no sé dónde está. Una documentación decente de mi trabajo: http://www.texpaste.com/n/a6upfhqo , http://www.texpaste.com/n/dugoxg4a .

Puede encontrar una ruta general con r ˙ = 0 , θ = π / 2 . Entonces, sí, solo calcula ese término de aceleración.
correcto. Cualquier curva debe tener una unidad de longitud.
@Jerry Schirmer ¿Qué hago con el 2 Γ t t r ( tu t ) 2 ¿término? no estoy seguro de qué tu t está en una prescripción no geodésica. ⟨u,u⟩=−1 todavía se mantiene, ¿verdad?
@JerrySchirmer Lo que tengo hasta ahora: texpaste.com/n/a6upfhqo . Siento que debería ser capaz de expresar ( tu t ) 2 en términos de ( tu φ ) 2 usando ⟨ tu , tu ⟩ = − 1 , ¿bien?
si, lo resuelves tu t en términos de tu φ usando la norma del vector de velocidad siendo -1. Básicamente, esto solo significa que ha elegido adecuadamente un parámetro afín.
@lionelbrits Ok, creo que estoy cerca ahora: texpaste.com/n/dugoxg4a
quiero decir tu ˙ r = 0 ...
@lionelbrits Pero la declaración de la pregunta dice que es positiva.
Primero, la aceleración adecuada no es lo mismo que tu ˙ r . Segundo, por aceleración radial, ¿quieren decir centrípeta? Hay una aceleración radial hacia adentro cuando te mueves en un círculo, incluso cuando r está arreglado.
Supongo que por aceleración radial se entiende el componente radial de la aceleración. Supongo que esto es centrípeto, por lo que establecí tu r = 0 . Por aceleración adecuada quiere decir d r / d t ?
Si tu r = 0 como un hecho, entonces tu ˙ r = 0 , también.
@lionelbrits Calculus no funciona de esa manera. Una pelota tiene velocidad cero en la parte superior de su trayectoria, pero siempre tiene una aceleración de 9,8 m/s^s. O en GR, Γ = 0 en un sistema de coordenadas normal pero Riem ∼ ∂ Γ ≠ 0 . ¿Cómo responderías entonces al problema? Publiqué la pregunta completa.
Una órbita circular tiene r = C o norte s t . No importa cuántas derivadas de r tomas con respecto a τ , cero obtendrás. Le sugiero que tenga en cuenta su funcionamiento en su pregunta porque está a un voto de cerrarse (personalmente lo mantendría abierto).

Respuestas (1)

El principio de equivalencia nos dice que podemos evaluar ∇ tu tu en un marco de referencia de movimiento conjunto y que para las geodésicas no deberíamos encontrar aceleración (para los ocupantes de un ascensor en caída libre, el contenido parece no experimentar aceleración). Por lo tanto, si evaluamos esto cuando no estamos a lo largo de una geodésica (ascensor sentado en la tierra), encontramos que no es cero. Debido a que es un vector, si es distinto de cero en un marco, debe ser distinto de cero en otro. En otras palabras, sí, F r es lo que tienes que calcular. El ingrediente que te falta es que r = C o norte s t para una órbita circular implica que tu ˙ r = 0 . Esto no es algo local, es simplemente porque estás forzando a que la órbita sea circular.

Así que al hacer esto en texpaste.com/n/dugoxg4a obtengo 0 = − r S ( tu φ ) 2 − r S r 2 + 2 A r ( tu φ ) 2 + F r . Creo que arruiné un letrero porque cuando lo reorganizo para obtener r S r 2 + ( tu φ ) 2 ( r S − 2 A r ) = F r , en realidad es negativo para r > 3 metro . ¿Alguna idea de lo que pasa?
¿Es un problema de covariante/contravariante?
no has definido A todavía.
No me parece. r S − 2 A r = 6 metro − 2 r . Obviamente esto es negativo cuando debería ser positivo. Por otro lado, esto no es un simple cambio de signo general porque el término r S / r 2 es positivo cuando debe serlo. Entonces F r puede ser positivo o negativo dependiendo de ( tu φ ) 2 y metro parece.
A se define en el OP y en los enlaces en la discusión anterior.
r s − 2 A r = r s − 2 r + 2 r s . Tus unidades se ven chifladas, pero no estoy seguro de qué tu φ es. En todo caso, ( tu φ ) debe ser positivo porque lo estás elevando al cuadrado. No importa, te referías al factor que multiplica ese término.
r S = 2 metro ( metro = GRAMO METRO ), entonces r S − 2 A r = 6 metro − 2 r . tu φ es el φ componente de la velocidad, que debe ser una constante de movimiento. Sí, también me preocupan las unidades.
¿Órbita circular no geodésica? [cerrado]
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v