Aproximación post-newtoniana de Schwarzschild de orden 3PN y superior

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Aproximación post-newtoniana de Schwarzschild de orden 3PN y superior

Física
agujeros negros
movimiento orbital
posnewtoniano
relatividad general
teoría de la perturbación

Agerhell

Esta expresión se puede encontrar en la documentación del JPL que determina la aceleración relativista en condiciones de Schwarzschild en la aproximación euclidiana que utilizan para calcular las órbitas de los cuerpos celestes:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}} + \frac{v^{2}}{C^{2}}) \hat{r} + \frac{4 GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{C^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Esta es la expresión 4-26 en la página 4-19 en Formulación para valores observados y calculados de tipos de datos de redes de espacio profundo para navegación, por Theodore Moyer . La mayoría de los términos se convierte en cero cuando solo tienes una masa.

¿Alguien sabe la interpretación física de los tres términos adicionales? Me encantaría que me lo contaras. Veo que hay un término que es básicamente la gravedad de "cubo inverso negativo" que empuja, por ejemplo, a los planetas lejos del sol.

Ahora encontré un artículo, Tercera dinámica post-newtoniana de binarios compactos: Ecuaciones de movimiento en el marco del centro de masa" por Blanchet e Iyer . El artículo describe la expansión post-newtoniana al tercer orden "3PN". la aceleración bajo las condiciones de Schwarzschild se encuentra en las expresiones 3.9 y 3.10. La mayoría de los términos se vuelven cero. Encuentro que las aceleraciones post-newtonianas 3PN bajo las condiciones de Schwarzshild son:

\begin{aligned} \frac{d \bar{v}}{d t} & = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - 4 \frac{GRAMO METRO}{r C^{2}} + 9 {(\frac{GRAMO METRO}{r C^{2}})}^{2} - dieciséis {(\frac{GRAMO METRO}{r C^{2}})}^{3}) \hat{r} \\ - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (\frac{v^{2}}{C^{2}} - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{4}} {(\bar{v} \cdot \hat{r})}^{2} + \frac{(GRAMO METRO)^{2}}{r^{2} C^{6}} (\bar{v} \cdot \hat{r})^{2}) \hat{r} \\ - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (- 4 \frac{(\bar{v} \cdot \hat{r})}{C^{2}} + 2 \frac{GRAMO METRO}{r C^{4}} (\bar{v} \cdot \hat{r}) - 4 \frac{(GRAMO METRO)^{2}}{r^{2} C^{6}} (\bar{v} \cdot \hat{r})) \bar{v} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d\bar{v}}{dt} &=-\frac{GM}{r^2}\left(1-4\frac{GM}{rc^2} + 9\left(\frac{GM}{rc^2}\right)^2 - 16\left(\frac{GM}{rc^2}\right)^3\right)\hat{r} \\ &\qquad-\frac{GM}{r^2}\left(\frac{v^2}{c^2}-\frac{2GM}{rc^4}\left(\bar{v}\cdot\hat{r}\right)^2 +\frac{(GM)^2}{r^2c^6}(\bar{v}\cdot\hat{r})^2\right)\hat{r}\\ &\qquad-\frac{GM}{r^2}\left(-4\frac{(\bar{v}\cdot\hat{r})}{c^2}+2\frac{GM}{rc^4}(\bar{v}\cdot{\hat{r}})-4\frac{(GM)^2}{r^2c^6}(\bar{v}\cdot\hat{r})\right)\bar{v} \end{align}$

Tal vez he cometido algún error. Los primeros cuatro términos, los que no dependen de la velocidad, parecen una serie convergente. Quizás también el resto de los términos converjan en una expresión conocida, ¿sabes algo al respecto?

¿Cuál es la interpretación física de los diversos términos?
¿Las aceleraciones de la expansión posnewtoniana, cuando se aplican al caso de un solo cuerpo esféricamente simétrico, convergen en una expresión para la aceleración relativista y, de ser así, cuál es esa expresión?

G. Smith

Con respecto a (1), dudo que haya una interpretación física de los términos individuales. Sin embargo, sugiero consultar los primeros artículos de C. Will sobre la gravedad posnewtoniana o su libro reciente "Teoría y experimento en física gravitacional".

G. Smith

¿Por qué dices “Tal vez he cometido algún error”? El resultado de 3PN parece coherente con el primero de 2PN.

G. Smith

Con respecto a (2), estas expansiones son para

d^{2} \bar{r} / d t^{2}

$d^2\bar{r}/dt^2$ dónde

t

$t$ es el tiempo coordinado. La aceleración relativista sería

d^{2} \bar{r} / d τ^{2}

$d^2\bar{r}/d\tau^2$ dónde

τ

$\tau$ es el momento adecuado.

Agerhell

Bueno, puede obtener un tipo de error al hacer una "traducción" a un sistema euclidiano con tiempo de coordenadas y otro tipo de error porque está truncando una serie y solo usa los primeros términos de la serie. Si puede averiguar si la serie converge en alguna expresión, al menos podría deshacerse del error que se debe al truncamiento.

usuario4552

Estas son probablemente las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann, extendidas a un orden superior: en.wikipedia.org/wiki/… . Probablemente sea cierto que algunos de los términos de orden inferior tienen interpretaciones físicas definidas, como efectos de inercia relativista o efectos gravitomagnéticos. Pero cuando llegue al tercer orden, dudo que haya mucho que pueda hacer para encontrar interpretaciones físicas término por término. Tenga en cuenta que este tipo de cosas solo funcionarán en sistemas de coordenadas especialmente elegidos, por lo que no tiene un significado físico directo.

Respuestas (2)

Aproximación post-newtoniana de Schwarzschild de orden 3PN y superior

Con respecto a (1), dudo que haya una interpretación física de los términos individuales. Sin embargo, sugiero consultar los primeros artículos de C. Will sobre la gravedad posnewtoniana o su libro reciente "Teoría y experimento en física gravitacional".
¿Por qué dices “Tal vez he cometido algún error”? El resultado de 3PN parece coherente con el primero de 2PN.
Con respecto a (2), estas expansiones son para $d^2\bar{r}/dt^2$ dónde $t$ es el tiempo coordinado. La aceleración relativista sería $d^2\bar{r}/d\tau^2$ dónde $\tau$ es el momento adecuado.
Bueno, puede obtener un tipo de error al hacer una "traducción" a un sistema euclidiano con tiempo de coordenadas y otro tipo de error porque está truncando una serie y solo usa los primeros términos de la serie. Si puede averiguar si la serie converge en alguna expresión, al menos podría deshacerse del error que se debe al truncamiento.
Estas son probablemente las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann, extendidas a un orden superior: en.wikipedia.org/wiki/… . Probablemente sea cierto que algunos de los términos de orden inferior tienen interpretaciones físicas definidas, como efectos de inercia relativista o efectos gravitomagnéticos. Pero cuando llegue al tercer orden, dudo que haya mucho que pueda hacer para encontrar interpretaciones físicas término por término. Tenga en cuenta que este tipo de cosas solo funcionarán en sistemas de coordenadas especialmente elegidos, por lo que no tiene un significado físico directo.

G. Smith · Answer 1

Aunque anteriormente comenté que dudo que haya una interpretación física de los términos individuales, me di cuenta de que hay una interpretación manual de los términos que no involucran la velocidad, comenzando con el término "cubo inverso negativo" que es repulsivo.

Tu expansión es para la aceleración de una masa de prueba. $m$ , pero hay una expansión equivalente de la energía potencial,

tu = - \frac{GRAMO METRO metro}{r} (1 - 2 \frac{GRAMO METRO}{r C^{2}} + \dots) .

$U=-\frac{GMm}{r}\left(1-2\frac{GM}{rc^2}+\dots\right).$

Esto se puede interpretar pensando en cómo gravita la energía potencial gravitacional . El PE newtoniano,

{tu}_{0} = - \frac{GRAMO METRO metro}{r}

$U_0=-\frac{GMm}{r}$

puede considerarse que “vive” en el campo gravitatorio newtoniano. (En realidad, esto se puede precisar para la gravedad newtoniana). Está distribuido espacialmente, pero se encuentra principalmente en la región entre $M$ y $m$ .

Dado que estamos considerando correcciones relativistas a la gravedad newtoniana, tiene sentido considerar la masa negativa efectiva de esta energía de campo negativa,

{metro}_{{tu}_{0}} = \frac{{tu}_{0}}{C^{2}} = - \frac{GRAMO METRO metro}{r C^{2}},

$m_{U_0}=\frac{U_0}{c^2}=-\frac{GMm}{rc^2},$

y luego considere la energía potencial gravitacional entre esta masa y $M$ , asumiendo que están separados por aproximadamente $r$ :

{tu}_{1} = - \frac{GRAMO METRO {metro}_{{tu}_{0}}}{r} = \frac{{GRAMO}^{2} {METRO}^{2} metro}{r^{2} C^{2}}

$U_1=-\frac{GMm_{U_0}}{r}=\frac{G^2M^2m}{r^2c^2}$

Este es, hasta una constante multiplicativa de orden 1 que refleja la no localización de la energía de campo, el segundo término en la expansión PE.

Es repulsivo porque la energía potencial gravitacional es negativa.

Puedes seguir jugando al mismo juego, pensando en el tercer término de la expansión como una corrección atractiva debido a cómo gravita la corrección de energía que acabamos de considerar.

Esta interpretación no debe tomarse demasiado en serio. Es más sólo por intuición. Sin embargo, la “gravedad de la energía gravitatoria” es algo real en el enfoque posnewtoniano de GR. Por ejemplo, si lees aquí acerca de la $\beta_2$ parámetro en el formalismo PPN original de Will, parametriza "cuánta gravedad es producida por la unidad de energía potencial gravitacional", y es distinto de cero en GR.

Otro ejemplo de la gravedad de la energía potencial gravitacional es el efecto Nordtvedt .

No tengo ninguna interpretación similar de los términos dependientes de la velocidad, porque no hay dependencia de la velocidad en la gravedad newtoniana.

Dudo que la serie converja a alguna función conocida, porque si lo hiciera, los físicos la usarían en lugar de la expansión.

De una lista de series encuentro que $\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}$ . De esto obtengo que el término anterior no dependiente de la velocidad converge a $-\frac{GM}{r^2}(\frac{1-\frac{GM}{rc^2}}{(1+\frac{GM}{rc^2})^3})\hat{r}$ , configuración $z=-GM/(rc^2)$ y suponiendo que la serie continúa como empezó. esto se ve extraño Tal vez se supone que debe obtener diferentes expresiones según la elección de la métrica y también que la expresión para la energía potencial es diferente en la métrica utilizada, que se describe como "isotrópica", pero tal vez difiere de alguna manera de las coordenadas isotrópicas más conocidas.

TimRias · Answer 2

TimRias

Si establece la masa secundaria en cero (o más específicamente, la relación de masa), lo que le queda es una expansión PN de la ecuación geodésica en el espacio-tiempo de Schwarzschild (en algunas coordenadas particulares (armónicas, creo).

Agerhell

En la página 2-9 de la documentación JPL mencionada anteriormente, hay una expresión numerada 2-16 para la métrica que, además de un término de escala, se ve así:

{d s}^{2} = (1 - \frac{2 G M}{r c^{2}}) c^{2} {d t}^{2} - (1 + \frac{2 G M}{r c^{2}}) (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})

${ds}^2=(1-\frac{2GM}{rc^2})c^2{dt}^2-(1+\frac{2GM}{rc^2})(dx^2+dy^2+dz^2)$ por lo que se supone que uno debe llegar a la primera expresión anterior.

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