Longitud de correlación en d>1 modelo Ising, a temperatura cero

Question

Longitud de correlación en d>1 modelo Ising, a temperatura cero

giulio bullsaver

Estoy estudiando el enfoque de grupo de renormalización del modelo de Ising utilizando como referencia el libro de Cardy "Escalado y renormalización en mecánica estadística". No puedo entender lo que sucede en el caso de temperatura cero (y posiblemente para $T < T_c$ ) a la longitud de correlación $\xi$ . Aquí está mi punto:

Dado que la temperatura cero es un punto fijo, debe ser $\xi =0$ o $\infty$ En realidad $\xi(\{K'\}) = 1/2 \ \xi(\{K\})$ , pero en un punto fijo $\{K'\} = \{K\}$ (Estoy usando la notación de Cardy donde $\{K\}$ denota el conjunto de acoplamiento para la teoría).

Ahora si $\xi$ es finito por debajo de la temperatura crítica (como se establece en algunos libros), digamos en $T_0 < T_c$ o equivalente $K_0 > K^*$ , debe ser cero a temperatura cero. Esto se puede deducir de forma similar a como se hace a la temperatura crítica (pág. 38). En resumen, si $n(K)$ se define como el número de veces que tiene que aplicar el grupo de renormalización para obtener de $K_0$ a $K$ , entonces $n(K)$ diverge como $K \to \infty$ (lo mismo decir $T \to 0$ ). Por lo tanto $\xi(K)$ tiende a cero (se reduce a la mitad $n(K)$ tiempos a partir de $\xi(K_0)$ ).

Por otro lado, me parece que es posible evaluar exactamente las funciones de correlación de espines de dos puntos en el límite de temperatura cero de la siguiente manera: $\langle\sigma(0) \sigma(r) \rangle = \sum_{\{\sigma\}} \sigma(0) \sigma(r) \exp(-\beta H[\sigma]) = 2$ . En el último pasaje, he usado que a temperatura cero solo las dos configuraciones de espín con la energía más baja contribuyen a la suma, pero esas son con todos los espines hacia arriba o todos los espines hacia abajo y $\langle\sigma(0) \sigma(r) \rangle = 1$ . Por lo tanto, la longitud de la correlación es infinita. (y para el argumento anterior debería ser infinito para cada $T<T_c$ ).

Entonces, ¿dónde está el error?

giulio bullsaver

Me olvidé de eso gracias. Sin embargo, <\sigma(r)> = 0 para cada r, ya que nuevamente a temperatura cero solo contribuyen las dos configuraciones anteriores y así sucesivamente... Por lo tanto, <sigma sigma> - <sigma><sigma> = <sigma sigma> = 2. (Aún no tuve tiempo de leer su referencia pero tengo la intención de hacerlo)

giulio bullsaver

Muchas gracias, aunque no entiendo del todo por qué se debe decir que el estado debe ser puro (y por lo tanto se debe imponer una condición de frontera como la que dijiste), y no una mezcla de los dos puros, esto debe ser la solución Con mucho gusto votaría tu respuesta si escribieras una.

Respuestas (1)

Longitud de correlación en d>1 modelo Ising, a temperatura cero

Me olvidé de eso gracias. Sin embargo, <\sigma(r)> = 0 para cada r, ya que nuevamente a temperatura cero solo contribuyen las dos configuraciones anteriores y así sucesivamente... Por lo tanto, <sigma sigma> - <sigma><sigma> = <sigma sigma> = 2. (Aún no tuve tiempo de leer su referencia pero tengo la intención de hacerlo)
Muchas gracias, aunque no entiendo del todo por qué se debe decir que el estado debe ser puro (y por lo tanto se debe imponer una condición de frontera como la que dijiste), y no una mezcla de los dos puros, esto debe ser la solución Con mucho gusto votaría tu respuesta si escribieras una.

yvan velenik · Answer 1

La longitud de correlación por debajo de la temperatura crítica se puede definir utilizando la tasa de decaimiento exponencial de la función truncada de 2 puntos, evaluada en estado puro (eligiré la inducida por la $+$ condición de contorno), a saber

ξ_{β} (\vec{norte}) = \underset{k \to \infty}{límite} - \frac{1}{k} registro ⟨ σ_{0}; σ_{[k \vec{norte}]} ⟩_{β}^{+},

$\xi_\beta(\vec n) = \lim_{k\to\infty} -\frac1k \log \langle \sigma_0 ; \sigma_{[k\vec n]}\rangle^+_\beta,$ dónde

\vec{n}

$\vec n$ es un vector unitario en

R^{d}

$\mathbb{R}^d$ y

[k \vec{n}]

$[k\vec n]$ es el punto de

Z^{d}

$\mathbb{Z}^d$ más cercano al punto

k \vec{n}

$k\vec n$ en

R^{d}

$\mathbb{R}^d$ . Usé la notación estándar

⟨ σ_{i}; σ_{j} ⟩_{β}^{+} = ⟨ σ_{i} σ_{j} ⟩_{β}^{+} - ⟨ σ_{i} ⟩_{β}^{+} ⟨ σ_{j} ⟩_{β}^{+}

$\langle \sigma_i ; \sigma_j\rangle^+_\beta = \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+_\beta - \langle \sigma_i \rangle^+_\beta\langle \sigma_j\rangle^+_\beta$ para la función truncada de 2 puntos (la covarianza entre los giros). Aquí,

⟨ \cdot ⟩_{β}^{+}

$\langle\cdot\rangle^+_\beta$ denota expectativa frente al estado de Gibbs (de volumen infinito) obtenido al tomar el límite termodinámico con

+

$+$ condición de contorno y temperatura inversa

β

$\beta$ .

Hay varias formas de demostrar que la longitud de correlación $\xi_\beta$ de hecho va a $0$ como $\beta\uparrow\infty$ . Posiblemente una de las más sencillas (aunque un poco tediosas) es a través de técnicas de expansión de clústeres (consulte, por ejemplo, la sección 5.7.4 de este libro ).

El punto principal es que el promedio de los espines se vuelve distinto de cero por debajo de la temperatura crítica, pero las fluctuaciones alrededor de este valor promedio se vuelven completamente no correlacionadas en el límite. Moralmente, para correlacionar las fluctuaciones de dos espines en $i$ y $j$ , debe tener un contorno de Peierls que rodee ambos $i$ y $j$ , y la probabilidad de esto va a $0$ exponencialmente rápido en $\beta\|j−i\|$ (cuando $\beta>\beta_{\rm c}$ ).

Hay varias razones por las que debe trabajar con un estado puro (o, más precisamente, una medida extrema de Gibbs) arriba. Una es que estos son los estados correspondientes al equilibrio termodinámico: los únicos para los que todos los observables macroscópicos toman valores deterministas, por ejemplo. Tenga en cuenta que si tuviera que considerar el estado obtenido con la condición de contorno libre (o periódica), de hecho vería que la función truncada de 2 puntos se reduce a la función habitual de 2 puntos,

⟨ σ_{i}; σ_{j} ⟩_{β}^{F r mi mi} = ⟨ σ_{i} σ_{j} ⟩_{β}^{F r mi mi}

$\langle \sigma_i; \sigma_j \rangle^{\rm free}_\beta = \langle \sigma_i \sigma_j \rangle^{\rm free}_\beta$ y esta cantidad no desaparece como

‖ j - i ‖ \to \infty

$\|j-i\|\to\infty$ cuando

β > β_{c}

$\beta>\beta_{\rm c}$ (en cambio, converge al cuadrado de la magnetización espontánea

m^{*} (β)

$m^*(\beta)$ ). Nótese también que, aunque

⟨ σ_{i} ⟩_{β}^{f r e e} = 0

$\langle \sigma_i\rangle^{\rm free}_\beta = 0$ , hay magnetización espontánea en configuraciones típicas: la expectativa es cero solo porque esta magnetización espontánea es

m^{*} (β)

$m^*(\beta)$ o

- m^{*} (β)

$-m^*(\beta)$ con probabilidad

1 / 2

$1/2$ . En realidad, una configuración típica bajo esta medida será típica de cualquiera de los

+

$+$ estado o el

-

$-$ estado con probabilidad

1 / 2

$1/2$ , por lo que cualquier forma natural en la que decida medir la longitud de correlación de las configuraciones en estos estados puros, debería darle la misma respuesta en el estado libre. La razón por la que no puede hacerlo a través de la función truncada de 2 puntos como se indicó anteriormente es que la expectativa comienza a mezclar las contribuciones de los dos posibles comportamientos macroscópicos descritos por los estados puros, pero esto no corresponde a nada físicamente relevante.

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giulio bullsaver

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