¿Por qué el modelo de Ising en el punto crítico tiene invariancia de escala?

No creo que haya una respuesta aceptada sobre por qué sucede esto. Esto suele denominarse " hipótesis de escalado ", es decir, que en las proximidades de las transiciones de fase (continuas), las cantidades termodinámicas y las funciones de correlación suelen comportarse como leyes de potencia caracterizadas por exponentes universales, que son independientes de los parámetros microscópicos de un sistema.

Lo primero es lo primero, la invariancia de escala y la longitud de correlación ($\xi$) divergencia van de la mano. La longitud de correlación básicamente establece la escala de longitud para el fenómeno físico de interés: si muevo una partícula en la posición$x$, este efecto se sentirá hasta una distancia$x+\xi$. Si el sistema es invariante de escala, lo que significa que el mismo fenómeno está presente en distancias cortas, intermedias y largas con la misma intensidad, entonces$\xi$no puede ser finito. Por lo tanto, debe ser infinito.

También se debe tener en cuenta que, de manera realista, "realmente" no tiene invariancia de escala en todas las escalas. Quiero decir, si te acercas lo suficiente, llegarás a estructuras subatómicas que obviamente no participan en transiciones de fase como líquido-gas o magnetizaciones. Por lo tanto, las representaciones visuales del método RG muestran un alejamiento en lugar de un acercamiento.

Una posible respuesta a la pregunta de por qué es la siguiente.
Una transición de fase se caracteriza por una energía libre no analítica. Es decir, algo explota y se va al infinito en el punto crítico. Infinito es infinito, no hay matices de infinito. Entonces, lo suficientemente cerca de la transición de fase como para ser dominado por este infinito, los detalles del material y de la escala que estamos mirando se vuelven irrelevantes. Por lo tanto, esperaría acercarse a un comportamiento "universal" en diferentes materiales, diferentes configuraciones y diferentes escalas de longitud.
Entonces, las matemáticas generalmente te muestran que la longitud de la correlación$\xi$va como$\propto (T-T_{\mathrm{c}})^{-\nu}$, eso es$\xi\rightarrow\infty$como$T\rightarrow T_{\mathrm{c}}$. De donde se sigue la invariancia de escala.