Confusión en el grupo de renormalización del espacio real para el modelo de Ising en la red

Question

Confusión en el grupo de renormalización del espacio real para el modelo de Ising en la red

Física
modelo-ising
renormalización
transición de fase
mecánica estadística

xjtan

Para el modelo de Ising con solo la interacción del vecino más cercano en una red cuadrada, si hacemos el RG integrando medio grado de libertad, entonces obtendríamos un nuevo modelo de Ising con muchos tipos de interacciones, por lo que el modelo de Ising con solo la interacción del vecino más cercano no puede ser un punto fijo de RG.

En general, el punto fijo debe incluir infinitos tipos de interacciones y no podemos encontrarlo exactamente.

Pero por ahora supongamos que lo encontramos, es decir, tenemos un modelo de Ising con infinitos tipos de interacciones y es un punto fijo de RG, y consideramos la correlación espín-espín de dos puntos, $\langle s(0)s(r)\rangle$ . Antes del RG, la distancia para dos giros es $r$ , después del RG, la distancia se convierte en $\frac{r}{2}$ , pero el hamiltoniano sigue siendo el mismo, excepto que el número de giros se reduce a la mitad. Así que creo que el $\langle s(0)s(r)\rangle=\langle s(0)s(\frac{r}{2})\rangle$ . Pero obviamente está mal ya que la función de correlación espín-espín debería decaer como ley de potencia. ¿Qué tiene de malo mi argumento?

Abdelmalek Abdesselam

Olvidaste reescalar que no es raplacing

s (r)

$s(r)$ por

s (r / 2)

$s(r/2)$ pero por

2^{Δ} s (r / 2)

$2^{\Delta}s(r/2)$ dónde

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ es la dimensión de escala del campo de espín.

xjtan

Gracias por la respuesta y estoy de acuerdo con ella. Entonces, la imagen de este RG de diezmado es: después de integrar los medios giros, los acoplamientos antes

n -

$n-$ término de interacción corporal

s^{n}

$s^n$ no son exactamente iguales que antes tienen una diferencia de

2^{- n Δ}

$2^{-n \Delta }$ , por lo que al volver a escalar el

s

$s$ a

2^{Δ} s

$2^\Delta s$ , se restablece el hamiltoniano? Y calculando el correcto

Δ

$\Delta$ no es una tarea sencilla en general.

xjtan

Y creo que es magia que un simple reescalado de

s

$s$ podría solucionar todo el problema en el acoplamiento.

Abdelmalek Abdesselam

Escribí una respuesta con un poco más de detalle.

Respuestas (3)

Confusión en el grupo de renormalización del espacio real para el modelo de Ising en la red

Olvidaste reescalar que no es raplacing $s(r)$ por $s(r/2)$ pero por $2^{\Delta}s(r/2)$ dónde $\Delta=1/8$ es la dimensión de escala del campo de espín.
Gracias por la respuesta y estoy de acuerdo con ella. Entonces, la imagen de este RG de diezmado es: después de integrar los medios giros, los acoplamientos antes $n-$ término de interacción corporal $s^n$ no son exactamente iguales que antes tienen una diferencia de $2^{-n \Delta }$ , por lo que al volver a escalar el $s$ a $2^\Delta s$ , se restablece el hamiltoniano? Y calculando el correcto $\Delta$ no es una tarea sencilla en general.
Y creo que es magia que un simple reescalado de $s$ podría solucionar todo el problema en el acoplamiento.

Lorenz Mayer · Answer 1

En la iteración del procedimiento de renormalización es el conjunto de transformaciones:

1) Una transformación en el espacio, en particular un cambio de escala

X \mapsto X^{'} = F (X) .

$x \mapsto x' = f(x) \ .$

2) Una transformación de las variables

S (X) \mapsto S^{'} (X^{'}) .

$S(x) \mapsto S'(x') \ .$

3) Una transformación del estado

⟨ \cdot ⟩ \mapsto ⟨ \cdot ⟩^{'} .

$\langle \cdot \rangle \mapsto \langle \cdot \rangle' \ .$

Para ser más explícito, si considera un modelo de Ising con operador de Hamilton

β H [S] = \sum_{X} j^{(1)} (X) S (X) + \sum_{X, y} j^{(2)} (X, y) S (X) S (y) + \sum_{X, y, z} j^{(3)} (X, y, z) S (X) S (y) S (z) + \dots,

$\beta H[S] = \sum_{ x} J^{(1)}(x) S(x) + \sum_{ x,y} J^{(2)}(x,y)S(x) S(y) + \sum_{ x,y,z} J^{(3)}(x,y,z)S(x) S(y) S(z) + \cdots \ ,$

Entonces el estado $\langle \cdot \rangle$ es simplemente el estado de Gibbs de $H[S]$ , y $\langle \cdot \rangle'$ es el estado de Gibbs de un operador de Hamilton $H'[S']$ , dónde $H'$ tiene parámetros $J^{'(i)}$ .

Estos deben elegirse para que todas las funciones de correlación coincidan:

⟨ S (X_{1}) S (X_{2}) \dots S (X_{norte}) ⟩ = ⟨ S^{'} (X_{1}^{'}) S^{'} (X_{2}^{'}) \dots S^{'} (X_{norte}^{'}) ⟩^{'} .

$\langle S(x_1) S(x_2) \cdots S(x_n) \rangle = \langle S'(x_1') S'(x_2') \cdots S'(x_n') \rangle' \ .$

Al estar en un punto fijo, tenemos que $\langle \cdot \rangle = \langle \cdot \rangle'$ . Su conclusión es válida si $S = S'$ . Pero esto no es cierto. En general, los operadores de giro tienen alguna dimensión de escala ( https://en.wikipedia.org/wiki/Scaling_dimension ).

Gracias por la respuesta, aunque no estoy de acuerdo con que su distancia en la red no haya cambiado. Hay un paso en RG llamado reescalado, que reescalan la distancia entre dos sitios a la mitad en nuestro contexto. El motivo del cambio de escala es comparar los modelos antes y después del RG. Puede consultar la nota de MacGreevy sobre RG, que creo que es fantástica. mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf
de nuevo, esto depende del procedimiento. Si desea ayuda para su procedimiento específico, le recomendaría que describa los pasos que tiene en mente. Concretamente, sospecharía que, en su caso, los operadores de giro se redefinen.
En mi opinión, el procedimiento es el siguiente: (1) la red cuadrada es una red bipartita, por lo que integramos todos los espines en una subred y obtenemos un nuevo modelo de Ising; (2) si consideramos el $<S_0 S_2>$ en la red antigua, en la red antigua, la distancia es 2 en la unidad de red constante $a$ , en la nueva red, la distancia es 1 en la nueva red constante $2a$ ; por lo que cambiamos la escala de la constante de red de nuevo a $a$ .

Abdelmalek Abdesselam · Answer 2

El problema es que el procedimiento de diezmado realmente no permite multiplicar por $2^{\Delta}$ en el cambio de antiguas variables de espín $s(r)$ a $2^{\Delta}s(2r)$ . Esta es la falla mencionada por el propio Wilson en la columna izquierda de la página 801 de su artículo "El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo" en Rev. Mod. física Una mejor transformación es el procedimiento de giro de bloque donde los nuevos giros son realmente nuevos y no solo un subconjunto de los antiguos. Otro problema es que el punto fijo debería ser realmente una medida de probabilidad en ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Z}^d}$ en vez de $\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ aunque solo sea para acomodar otros modelos de valor real en la misma clase de universalidad como el $\phi^4$ modelo. Al hacer giros en bloque, los nuevos giros son algo así como

t (r) = 2^{Δ - d} \sum_{tu \in 2 r + {0, 1}^{d}} s (tu)

$t(r)=2^{\Delta-d}\sum_{u\in 2r+\{0,1\}^d} s(u)$ Para 2D Ising,

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ y

d = 2

$d=2$ . Al repetir la transformación

n

$n$ veces, el espacio entre los valores es

2^{n (Δ - d)} \to 0

$2^{n(\Delta-d)}\rightarrow 0$ . Por otro lado, los valores extremos (por ejemplo, si todos

s (r)

$s(r)$ son

+ 1

$+1$ 's) ir como

2^{n Δ} \to \infty

$2^{n\Delta}\rightarrow \infty$ . Entonces, al igual que en el teorema del límite central para la distribución binomial, uno se acerca a la distribución de una variable aleatoria de valor real con una densidad. Tenga en cuenta que Wilson menciona un enfoque intermedio debido a Kadanoff donde los nuevos giros

t

$t$ todavía están en

{- 1, 1}^{Z^{d}}

$\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ pero con un parámetro de acoplamiento

ρ

$\rho$ a los viejos giros

s

$s$ . Finalmente, el teorema del límite central clásico se puede entender en el marco anterior con

Δ = d / 2

$\Delta=d/2$ .

Gracias por la buena respuesta. También hice una búsqueda bibliográfica y Kadanoff también escribió en la página 295 de su libro "física estadística, estática, dinámica y renormalización" que: "La única posibilidad es que el esquema de renormalización que estamos usando tenga fallas en el sentido de que nunca llega uno a el punto fijo. Esa es la respuesta correcta. (En la nota al pie dice que esto se basa en su comunicación privada con Wilson)".
Luego me preguntaba el comportamiento del hamiltoniano crítico a medida que avanza el procedimiento de diezmado. McGreevy en su nota mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf escribió que otras dos situaciones posibles podrían ser caos o ciclo limitado. Creo que aquí debería haber caos.

gec · Answer 3

Detuviste tu consideración y no llegaste a una conclusión final. La transformación de renormalización basada en diezmados no tiene punto fijo. La respuesta aceptada en este tema Critical 2d Ising Model contiene un enlace a las notas sobre este asunto.

Según mi entendimiento previo, sí, no es un punto fijo. Pero añadiendo la operación de reescalado $s$ a $2^\Delta s$ daría un punto fijo.

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