¿Por qué la dimensión de la carga eléctrica depende del número de dimensiones del espacio-tiempo?

Question

¿Por qué la dimensión de la carga eléctrica depende del número de dimensiones del espacio-tiempo?

Física
electromagnetismo
análisis dimensional
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Erich

Podemos encontrar a través del análisis dimensional que la dimensión de la carga eléctrica varía con la dimensión del espacio-tiempo. $(D+1)$ :

[cobrar] = (eV)^{(3 - D) / 2} .

$[\text{charge}] = (\text{eV})^{(3-D)/2}.$ Es adimensional si hay tres dimensiones espaciales (

D = 3

$D=3$ ). Puedes ver a continuación la forma en que lo hice. La pregunta es: ¿Por qué ocurre esto? ¿Cuál es el significado de este?

Estoy usando las Unidades Heaviside-Lorentz con Unidades Naturales ( $\hbar = c = 1$ ) para que todas las dimensiones se puedan expresar en energía ( $\text{eV}$ ).:

\begin{aligned} [X] & = [t] = (eV)^{- 1} \\ [pags] & = [mi] = eV \end{aligned}

$\begin{align} [x] &= [t] = (\text{eV})^{-1}\\ [p] &= [E] = \text{eV} \end{align}$

Usando la acción de la teoría de Maxwell

S = - \frac{1}{4} \int d^{1 + D} X F^{m v} F_{m v}

$S = - \frac{1}{4} \int d^{1+D} x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ y haciendo un análisis dimensional,

\begin{aligned} [S] & = [X]^{1 + D} [F^{m v}]^{2} \Rightarrow \\ 1 & = (eV)^{- D - 1} [F^{m v}]^{2} \Rightarrow \\ [F^{m v}] & = (eV)^{(D + 1) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} [S] &= [x]^{1+D} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ 1 &= (\text{eV})^{-D-1} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ [F^{\mu \nu}] &= (\text{eV})^{(D+1)/2} \end{align}$ Entonces usando la ecuación no homogénea

\partial_{v} F^{m v} = j^{m}

$\partial_\nu F^{\mu \nu} = J^\mu$ y haciendo un análisis dimensional

\begin{aligned} [\partial_{v}] [F^{m v}] & = [j^{m}] \\ mi V mi V^{(D + 1) / 2} & = [j^{m}] \\ [j^{m}] = (eV)^{(D + 3) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} [\partial_\nu] [F^{\mu \nu}] &= [J^\mu]\\ eV eV^{(D+1)/2} &= [J^\mu]\\ [J^\mu] = (\text{eV})^{(D+3)/2} \end{align}$

Ahora veamos la dimensión de carga. La relación de la carga con el $(1+D)$ la densidad de corriente es

[j^{m}] = \frac{[cobrar]}{[X]^{D}}

$[J^\mu] = \frac{[\text{charge}]}{[x]^D}$

Asi que,

\begin{aligned} (eV)^{(D + 3) / 2} & = (eV)^{D} [cobrar] \\ [cobrar] & = (eV)^{(3 - D) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} (\text{eV})^{(D+3)/2} &= (\text{eV})^{D} [\text{charge}]\\ [\text{charge}] &= (\text{eV})^{(3-D)/2} \end{align}$

Obtenemos eso solo en $3+1$ -dimensiones la carga es adimensional. si estamos en $1+1$ , y en $1+5$ la carga es como el tiempo.

En otro lugar me dijeron que (dimensión de carga) tiene relación con la renormalización de QED. Y que el hecho de que la carga sea adimensional sólo en $3+1$ está relacionado con que las ecuaciones de Maxwell sean conformemente invariantes en $3+1$ .

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Inteligente · Answer 1

Regularizando QED con regularización dimensional, pasamos de $4\rightarrow d$ dimensiones. La acción ahora se puede escribir como

$S = \int d^dx\mathcal{L}_d\ ,$

donde el subíndice $d$ empatiza la dimensión. La acción tiene que ser adimensional, por lo que $\mathcal{L}_n$ tiene dimensiones $m^d$ . (Yo suelo $m$ para masa, o equivalente, dimensión de energía, st $[x]=m^{-1}$ .)

El QED Lagrangiano es

$\mathcal{L}_{QED}= \bar\psi \left(i\gamma^\mu(\partial_\mu -ie_d QA_\mu)-m\right) \psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \ .$

El análisis dimensional arroja:

$[x]=m^{-1} \\ [\partial_{\mu}]=m^1\\ [F_{\mu\nu}]=m^{\frac{d}{2}}\quad \Rightarrow \quad [A_\mu]=m^{\frac{d}{2}-1}\\ [\psi]=m^{\frac{d-1}{2}} \quad \Rightarrow \quad [e_d]=m^{\frac{4-d}{2}}$

Entonces, el hecho de que la carga, es decir, el acoplamiento de QED, no sea adimensional en $d\neq 4$ proviene del requisito de renormalizabilidad de la teoría.

El significado de esto es que, por ejemplo, en un (renormalizable) $2+1$ teoría, no hay invariancia de escala. (En realidad, tampoco hay invariancia de escala en QED, ya que el acoplamiento aumenta con el aumento de la energía debido a las correcciones cuánticas).

Esto no tiene un significado físico, ya que vivimos en un mundo con $3+1$ dimensiones (extendidas).

"hecho de que la carga no es adimensional en $d\neq 4$ proviene del requisito de renormalizabilidad de la teoría": ¿no sigo este argumento? ¿Puede ampliarlo?
también observo que usas una notación diferente, $d=D+1$ , dónde $D$ aparece en la pregunta original.
@innisfree: En la pregunta $D$ se utiliza para las dimensiones espaciales, por lo que $D+1$ es el número de dimensiones del espacio-tiempo. El análisis dimensional de todos los campos y la carga conducen a $[e_d]=m^{\frac{4-d}{2}}$ , que en el caso de $d=4$ es $[e_d]=1$ , por ejemplo, adimensional. Se aplicó el análisis dimensional, ya que queríamos que nuestra teoría fuera renormalizable, es decir, que los términos en el Lagrangiano (densidad) tuvieran dimensión desordenada $4$ .

qmecanico · Answer 2

Comentario a la pregunta (v6): parece que OP básicamente está viendo el efecto de que la ley de Gauss obliga a la ley de Coulomb a ser

\begin{matrix} (1) & F = k_{mi} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{D - 1}} \end{matrix}

$\tag{1} F~=~ k_e \frac{Q_1Q_2}{r^{D-1}}$

en $D$ dimensiones espaciales. Si elegimos unidades Lorentz-Heaviside/CGS/Gaussianas con $c=1=\hbar$ , entonces la constante de Coulomb $k_e$ se vuelve adimensional. Entonces se sigue de la ley de Coulomb (1) que la dimensión de la carga es

\begin{matrix} (2) & [q] = [mi]^{\frac{3 - D}{2}} \end{matrix}

$\tag{2} [Q] = [E]^{\frac{3-D}{2}}$

cuando se expresa en dimensión $[E]$ de energía.

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Erich

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