¿Cómo puedo entender unidades contrarias a la intuición como s2s2\text{s}^2?

La respuesta de Lubos Motl es completamente correcta, pero agregaré mi perspectiva de todos modos.

Para muchas unidades compuestas, no debe tratar de "visualizar" el significado de la unidad, pero debe pensar que le recuerda las relaciones entre esa cantidad y otras. ¿Por qué las unidades de la constante de Newton$G$ ${\rm N\ m^2/kg^2}$? Eso es porque$G$El "propósito en la vida" de 's es ser multiplicado por un par de masas y dividido por una distancia al cuadrado, dejándote con una fuerza.

Por cierto, esto a veces significa que, al menos cuando eres nuevo en una cantidad, a menudo es bueno no reducir sus unidades a la forma más simple. El ejemplo de Lubos es probablemente el mejor aquí: El significado de${\rm m/s^2}$es oscuro para algunos estudiantes principiantes de física, mientras que$\rm (m/s)/s$o

$${\rm m/s}\over {\rm s}$$ es un recordatorio más claro del significado. (Si lo escribe en la primera forma, use los paréntesis. Los libros más antiguos solían escribir m/s/s potencialmente ambiguo). De manera similar, escribí las unidades de $G$en la forma en que lo hice porque así es fácil de recordar. es equivalente a $\rm m^3/(kg\ s^2)$, pero el "significado" de esto es más difícil de ver de un vistazo.

No hay ninguna razón por la que debas estar "imaginando" un segundo al cuadrado. La mayoría de las cantidades en física no tienen ninguna visualización "geométrica" ​​canónica y no hay ninguna razón por la que deberían tenerla. Lo que importa es que deberías poder calcular con él.

Por ejemplo, la aceleración de la gravedad en la Tierra es$9.81\,\,{\rm m/s}^2$. Esto simplemente significa que la aceleración es

$$g = \frac{9.81 \,\,{\rm m/s}}{{\rm s}}$$ Cada segundo, la velocidad aumenta en $9.81 \,\,{\rm m/s}$en la dirección hacia abajo. La aceleración es de 9,81 metros por segundo por segundo. Si divides la unidad ${\rm m/s}$por otra ${\rm s}$, usted obtiene ${\rm m/s/s}$que es lo mismo que ${\rm m/s}^2$.

Un segundo al cuadrado aún sería muy simple de imaginar: imagina un cuadrado en un espacio-tiempo ficticio con dos coordenadas de tiempo cuyo lado es un segundo. No hay problema con el hecho de que este espacio-tiempo no sea real: solo estás tratando de imaginar algo que no debería ser imaginado, por lo que no es sorprendente que las imaginaciones no sean físicas.

Existen unidades mucho más "extrañas" para cantidades aparentemente simples. Por ejemplo, la unidad de carga eléctrica en el sistema CGSE es un statcoulomb

http://en.wikipedia.org/wiki/Statcoulomb

que es solo una forma diferente de decir

$$1 {\rm g}^{1/2} {\rm cm}^{3/2} {\rm s}^{-1}$$ que contiene potencias fraccionarias. No puedes imaginar ninguna forma cuyos "volúmenes" sean potencias fraccionarias de los lados. Aún así, no hay dificultad para calcular con estas unidades. Hay muchas fórmulas en física que son "no lineales", en las que una cantidad debe invertirse, elevarse al cuadrado, al cubo o exponenciarse a otra potencia (posiblemente fraccionaria) para obtener otra cantidad. Las unidades también deben ser exponenciadas en consecuencia.

De vez en cuando me encuentro con esta pregunta de los estudiantes. Lo acerco de la siguiente manera:

Al calcular cuánta pintura necesitará para cubrir una pared, es natural pensar en términos de metros cuadrados.$m^2$. Los estudiantes parecen aceptar esto intuitivamente. El problema surge al tener que pensar en cosas como el tiempo al cuadrado.

(1) Cuando utilice unidades de metros cuadrados, debe reconocer que esta ya es una unidad derivada. No usas un metro cuadrado para medir metros cuadrados. Usas una regla de un metro, y luego usas algunas matemáticas. Así que ya perdiste tu virginidad en metros cuadrados, segundos cuadrados es solo otro paso en el camino.

(2) Cuando vas a comprar un automóvil (en los EE. UU.), uno de los atributos por los que te venderán el automóvil, en términos de medir su aceleración, es cuántos segundos tarda en alcanzar una velocidad, generalmente 60 mph. . Entonces, un automóvil puede tardar 10 segundos en alcanzar las 60 millas por hora. Suponiendo que la aceleración es constante, esto es 6 millas por hora cada segundo. Escribimos esto como

$$\frac{\textrm{60 miles per hour}}{\textrm{10 seconds}} = \frac{\textrm{6 miles per hour}}{\textrm{second}}.$$ Y esto se puede reescribir como: $$\frac{\textrm{6 miles /hour}}{\textrm{second}} = \frac{\textrm{6 miles /hour}}{\textrm{second/1}}$$ $$= \frac{\textrm{6 miles}}{\textrm{hour}} \frac{\textrm{1}}{\textrm{second}}$$ $$= \frac{\textrm{6 miles}}{\textrm{hour-second}}$$ y así nos quedamos con la unidad "hora-segundo" que de hecho es tiempo al cuadrado, y se ve fácilmente que es igual a minuto $^2$.

En resumen, siempre debemos recordar que las unidades que usamos están ahí solo para permitirnos hacer cálculos. Los definimos, los usamos, la naturaleza los acata, pero Ella no los contiene.