Gravedad plana infinita: ¿qué es la "densidad de masa por unidad de área"?

Recientemente aprendí que la gravedad de un plano infinito es independiente de la distancia desde ese plano . de hecho es

gramo = 2 π GRAMO σ

dónde σ es "la densidad de masa del avión por unidad de área".

Estoy luchando por entender lo que esto realmente significa. Entiendo la densidad de masa (por volumen), pero ¿"por área"? ¿Esto no sería siempre cero?

Mirando por ejemplo a un 2 metro metro lámina gruesa de cobre, donde el cobre tiene una densidad de masa de ρ cobre = 8.92 gramo / C metro ³ . ¿Cuál es entonces el σ en la superficie de la hoja? ¿Es solo (al menos aproximadamente) la densidad apilada en cada punto de la superficie, es decir, σ = w ⋅ ρ dónde w = 0.2 C metro es el espesor de la placa?

¿Qué pasa si la placa no es insignificantemente gruesa pero, digamos w = 1 k metro ?

Editar: se eliminó la referencia al plano finito, es posible que algunos comentarios ya no se apliquen.

Pero, ¿por qué no resolver exactamente el problema con una placa sólida infinita con densidad de masa uniforme ρ? Después de todo, esta configuración es simplemente una cantidad infinita de planos apilados unos sobre otros. La intensidad del campo gravitatorio dependerá de la distancia desde el centro de la placa eventualmente, pero seguirás teniendo el mismo campo gravitatorio en planos paralelos a la superficie de la placa. Al resolver ambos problemas (plano y placa sólida), puedes ver a qué distancia la aproximación placa=plano es mala comparando las dos intensidades del campo gravitacional (suponiendo que la masa total es la misma).
¿ Qué es la "densidad de masa en un avión"? Entiendo la densidad de masa (por volumen), pero ¿por área? ¿Siempre cero?
Creo que es un término incorrecto. Debería ser simplemente "masa por unidad de área", por ejemplo, cuántos gramos pesaría toda la materia detrás de un centímetro cuadrado, independientemente del grosor del avión.
También se llama densidad superficial. Creo que algunas fuentes incluso podrían llamarlo densidad de área, pero no puedo pensar en ningún ejemplo.

Respuestas (2)

Comencemos con 1D.

Si tuviera que comprar una cuerda para escalar, es posible que desee preguntarle al vendedor: "¿cuánto pesa un metro de cuerda?".

Esta pregunta es lo mismo que preguntar cuál es la masa por unidad de longitud de la cuerda. Sí, es posible que le importe cuál es la densidad real (masa por unidad de volumen) de la cuerda, pero dado que la variable principal será la longitud, abstraiga la circunferencia.

masa por unidad de longitud = área de la sección transversal * densidad

Lo mismo para el caso 2D. Digamos que está comprando material para construir una vela. Desea saber cuál es la masa por unidad de área porque es una información más relevante que la densidad.

Como ves, no estamos hablando exactamente de objetos de 1 o 2 dimensiones (que deberían tener una densidad de 0) sino de situaciones en las que solo importan una o dos dimensiones del objeto en cuestión.

En el caso de un plano infinito, la forma en que derivamos esa fórmula es mirar cuánta masa hay dentro de un cilindro (imaginado) a horcajadas sobre el plano, donde las bases del cilindro (los dos discos) son perpendiculares al plano. Esa masa siempre será proporcional al área de la base y completamente independiente de la altura del cilindro (¿puedes ver por qué?). Así que no nos importa la densidad (o el grosor) del plano en sí.

Si la lámina tuviera un espesor distinto de cero τ , tendrías σ = ρ τ . Ahora solo toma τ → 0 + mientras lo esté agarrando σ fijado.

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