Ley del cuadrado inverso y dimensiones extra del espacio

Puede obtener esto de manera más "intuitiva" (idiosincrásica): el flujo de esta fuerza en una superficie cerrada es igual a la cantidad de fuente en el interior (es una ley de Gauss ). Esta fuente podría ser una masa o una carga. La imagen física es: la presión aplicada en una superficie cerrada por la fuerza de campo es proporcional a la cantidad de fuente en el interior.

Puede obtener el campo de fuerza producido por una fuente puntual con opciones adecuadas de superficie (una esfera concéntrica con la fuente). Entonces, para cualquier dimensión, puede ver que su campo obedece a la$\frac{1}{r^{d-1}}$porque el área de esta superficie ($d$-esfera,$S_2$) crecer con$r^{d-1}$(para$d>2$).

Sí, existe una derivación más "rigurosa" (Estándar). En realidad, primero debemos verificar que esta ley implica un potencial que obedece a la ecuación de Laplace :$\nabla^2 V(x)=0$. Cualquier fuente puntual de esta fuerza producirá un potencial que es una función de Green de$\nabla^2$para una condición de contorno adecuada ($V=0$en$\infty$).

Para tres dimensiones, la función de Green es$\frac{1}{r}$, esto implica$\frac{1}{r^2}$por la fuerza Para$d>2$, la función de Green es$\frac{1}{r^{d-2}}$e implican una fuerza que es$\frac{1}{r^{d-1}}$. Para$d=2$es un logaritmo y para$d=1$es lineal con$r$.