¿Las teorías de calibre (CFT) tienen transiciones de fase a medida que varía el acoplamiento 't Hooft?

El ejemplo que conozco no usa el acoplamiento de 't Hooft, pero creo que puede abordar su pregunta de una manera más directa (seré "suelto" con constantes y prefactores numéricos, pero mantendré toda la información y los detalles relevantes ).

Piense en un campo escalar de dimensión 0 (bosónico$D0$-brana) con un potencial quártico a la$V(\phi) = \mu\,\phi^2 + \lambda\,\phi^4$. Y, si me permiten alguna licencia poética con polinomios, permítanme reescribir este potencial de la siguiente forma:$V_g(\phi) = \phi^2 + g\,\phi^4$, dónde$g=\lambda/\mu$, y debe quedar claro que "grandes$g$" significa "acoplamiento fuerte", mientras que "pequeño$g$" significa "acoplamiento débil".

La función de partición (integral de ruta de Feynman) para esta función está dada por,

$$\mathcal{Z}_g[J] = \int e^{i\, S_g(\phi)}\,e^{i\,J\,\phi}\,\mathrm{d}\phi < \infty\; ;$$ dónde $S_g[\phi] = V_g(\phi)$es la Acción del sistema (donde mantengo el acoplamiento constante explícito), y el requisito es que la integral converja (por lo que la Función de partición está "bien definida" en algún sentido).

Pero hay una versión diferencial de lo anterior, llamada ecuación de Schwinger-Dyson, dada por,

$$\frac{\partial S_g(\phi)}{\partial\phi} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \mu\,\phi + \lambda\,\phi^3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \phi\,(1 + g\,\phi^2) = 0\;;$$ recordando eso $\phi\mapsto\partial_J=\partial/\partial J$, dándonos lo siguiente:

$$(\partial_J + g\,\partial_J^3)\,\mathcal{Z}(J) = J\;.$$

De esta ecuación diferencial claramente sabes una cosa: hay 3 soluciones para el problema anterior. Esto implica que cada solución admite una representación integral, que es la Función de Partición asociada a esa solución en particular.

De hecho, cada$\mathcal{Z}_g(J)$se define dentro de una cierta cuña de Stokes, lo que significa que cuando cruzas una línea de Stokes obtienes una contribución constante no trivial (muy parecido a los fenómenos de cruce de paredes).

Además, puede escribir las soluciones de lo anterior en términos de funciones hipergeométricas [confluentes] (o, si lo desea, en términos de la función G de Meijer o la función H de Fox) y distinguir su contribución PolyLogarithm, que está relacionada con su estructura de singularidad (polo), y puede ser un gran problema cuando se habla de la teoría de la perturbación.

De todos modos, esta es solo una versión "crash-core-dump" de lo que creo que ataca su pregunta; el punto es que$g$etiqueta sus "fases cuánticas". Tenga en cuenta que es posible ampliar el campo de valores escalares a valores vectoriales, matriciales, tensoriales y de álgebra de mentira: todos los resultados mencionados se realizan con modificaciones menores (como el seguimiento de variables apropiadas, etc.).

Espero que esto ayude.