Una explicación peatonal de los bloques conformes

Ahora que tenemos la perspectiva de un físico, no me siento tan mal delineando bloques conformes desde el punto de vista de un matemático. Presumiblemente, hay un diccionario que conecta los dos mundos, pero no entiendo la física lo suficientemente bien como para decir oraciones coherentes al respecto. Me disculpo de antemano por cualquier confusión, este no es un tema muy pedestre.

Me enfocaré en los bloques conformes desde el punto de vista de las álgebras de vértices conformes, que normalmente aparecen en matemáticas como estructuras algebraicas que se pueden usar para demostrar teoremas en la teoría de la representación. Las álgebras de vértices son espacios vectoriales$V$equipado con una "multiplicación con singularidades"$V \otimes V \to V((z))$que codifica un mejor esfuerzo para multiplicar campos cuánticos (que a veces se denominan "distribuciones con valores de operador"). Multiplicación a la izquierda por un elemento$u$produce una serie de potencia formal$\sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n z^{-n-1}$cuyos coeficientes son operadores. Hacer que un álgebra de vértices sea conforme es elegir un vector distinguido$\omega$cuyos operadores correspondientes generan una acción del álgebra de Virasoro, que es una extensión central del álgebra de Lie complejizada de campos vectoriales polinómicos sobre el círculo. No se pierde mucho conceptualmente al pensar en Virasoro como el espacio tangente del grupo.$Diff(S^1)$en la identidad, pero hay una anomalía de "carga central distinta de cero" en juego que puede hacer que la extensión central sea necesaria. El círculo aparece aquí porque es el límite de un pinchazo donde insertaremos un campo.

Mi comprensión de la interpretación física es la siguiente imagen incompleta y posiblemente incorrecta: dentro de una teoría de campo conforme en 2D, hay un álgebra de simetrías quirales (digamos, que se mueven hacia la izquierda), y esta es precisamente la información capturada por el álgebra de vértice conforme. El espacio de estados en la teoría se descompone en un conjunto de "sectores" que son módulos del álgebra de vértices. Si elegimos una superficie de Riemann (que es una esfera en la mayoría de los libros de texto) y adjuntamos estados de varios sectores a un conjunto de puntos distintos, deberíamos obtener un conjunto de amplitudes, que son valores de funciones de correlación quiral adjuntas a estos datos de entrada. Escuché que hay alguna forma de pasar de la materia quiral a la teoría de campo conforme propiamente dicha, donde desaparece la ambigüedad en los correladores y se obtienen funciones de correlación honestas, pero no lo he visto en la literatura matemática. En cualquier caso, los bloques conformes viven dentro de esta máquina: sectores dados unidos a puntos en una superficie de Riemann, un bloque conforme es un dispositivo que consume opciones de estados en esos sectores y genera valores de funciones de correlación de manera consistente con las simetrías quirales. .

Aquí hay un bosquejo de la construcción matemática, debido a Edward Frenkel (y descrito con más detalle en su libro Vertex Algebras and Algebraic Curves con David Ben-Zvi): Hay una "mitad positiva" del álgebra de Virasoro, dividida por generadores$-z^n\frac{d}{dz}$por$n \geq 0$, y genera el álgebra de derivaciones de Lie sobre el disco complejo infinitesimal, y también actúa sobre el álgebra de vértice conforme$V$. Podemos usar esta acción para construir un paquete vectorial$\mathscr{V}$con conexión plana en nuestra superficie de Riemann elegida por el método de "geometría formal" de Gelfand-Kazhdan (que no describiré). pinchazos dados$p_1, \dots, p_n$, se construye, a partir del complejo De Rham de$\mathscr{V}$, un álgebra de mentira$L$que actúa naturalmente sobre$n$-tuplas de$V$-módulos. Dado$V$-módulos$M_i$unidos en puntos$p_i$, un bloque conforme es un$L$-mapa de módulos de$\bigotimes M_i$al módulo trivial.

En general, es bastante difícil hacer cálculos explícitos con bloques conformes, debido a la cantidad de geometría involucrada. Si su superficie de Riemann tiene manijas, tendrá que lidiar con una elección de estructura compleja, y si tiene muchos pinchazos, tendrá que lidiar con un espacio de configuración complicado de puntos. Por lo general, verá diagramas de nivel de árbol con 4 entradas, porque:

1. Ahí es donde aparece el mínimo indispensable de geometría: dado que el grupo de automorfismos de la línea proyectiva compleja es triplemente transitivo, el espacio de configuración de cuatro puntos es una línea perforada tres veces (me refiero a una esfera).
2. Dependiendo del nivel de detalle que busque, a menudo es todo lo que necesita: los espacios de los bloques se pueden ensamblar pegando las superficies de los pantalones y tomando sumas sobre los sectores donde ocurre la costura. En la imagen algebro-geométrica compleja, esta costura significa unir esferas transversalmente en puntos para obtener una curva nodal. Luego se deforma para obtener una curva compleja suave y se realiza un transporte paralelo a lo largo del camino correspondiente en el espacio de módulos de las curvas marcadas. La configuración de cuatro puntos es una situación en la que tiene exactamente una operación de costura (y la otra situación similar es un toro perforado, que es importante para obtener caracteres).

De hecho, cuando la teoría del campo conforme se comporta adecuadamente (léase: racional), se obtienen las dimensiones de los espacios de todos los bloques conformes solo a partir de las dimensiones de los bloques de género cero de tres puntos, también conocidas como constantes de estructura del álgebra de fusión. Uno ve esto en la fórmula de Verlinde, por ejemplo.

Creo que los ejemplos de bloques conformes tienen cierta complejidad necesaria, pero aquí hay una descripción general de un caso razonablemente simple que está motivado por el modelo WZW. Elige un grupo de Lie simple, como$SU(2)$, y un nivel$\ell$(que podemos ver como un entero positivo). Se construye el álgebra de vértices y sus módulos como nivel$\ell$representaciones integrables del álgebra afín de Kac-Moody Lie$\hat{\mathfrak{sl}_2}$, que es una extensión central del álgebra de bucles de la complejización del álgebra de Lie$\mathfrak{su}_2$. Si elegimos una superficie de Riemann (como una esfera) y decoramos los puntos solo con el módulo de vacío, obtenemos un espacio de bloques conformes que es el espacio de las secciones globales de un cierto paquete de líneas.$L_G^{\otimes \ell}$en el espacio de módulos de$SU(2)$haces en la superficie. Aquí$L_G$es el amplio generador del grupo de Picard del espacio de módulos.

Leí un poco sobre esto, ¡y resulta que los bloques conformes son bastante relevantes para mi investigación! Así que pensé que valía la pena el tiempo para investigar con más detalle. Nunca he estudiado formalmente la teoría del campo conforme, pero espero no estar escribiendo nada totalmente incorrecto aquí. (Perdí mi primer borrador y tuve que reconstruirlo, por eso me tomó tanto tiempo)

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En la teoría de campos conformes, es común representar coordenadas en un espacio bidimensional usando números complejos, por lo que$\vec{r} = (x,y)$se convierte$\rho = x + iy$. En esta notación, la teoría es invariante bajo la acción de una transformación de Möbius (también conocida como transformación conforme),

$$\rho \to \frac{a\rho + b}{c\rho + d}$$

en el cual$a$,$b$,$c$, y$d$son constantes complejas que satisfacen$ad - bc \neq 0$. La transformación tiene tres grados de libertad complejos; en otras palabras, si especifica tres puntos iniciales y tres puntos finales en el plano complejo, hay una transformación de Möbius única que asigna esos tres puntos iniciales a los tres puntos finales.

Entonces, cualquier función de cuatro coordenadas en el plano, por ejemplo, una función de correlación de cuatro puntos de campos cuánticos,

$$G_4 = \langle \phi_1(\rho_1,\rho_1^*) \phi_2(\rho_2,\rho_2^*) \phi_3(\rho_3,\rho_3^*) \phi_4(\rho_4,\rho_4^*) \rangle$$

sólo tiene un grado de libertad real, después de factorizar las libertades de medida correspondientes a la transformación de Möbius. En otras palabras, puede mapear cualquiera de esas tres coordenadas en tres puntos de referencia fijos (por ejemplo$0$,$1$, y$\infty$), y te queda una función de una sola variable, algo así como

$$x = \frac{(\rho_4 - \rho_2)(\rho_3 - \rho_1)}{(\rho_4 - \rho_1)(\rho_3 - \rho_2)}$$

Esto abre la puerta para escribir.$G_4$como una función simple de esta razón (al menos, más simple que una función de cuatro coordenadas independientes).

La parte particular de CFT en la que se aplican bloques conformes (por lo que puedo decir, estoy empezando a perder un poco mi profundidad aquí) tiene que ver con las álgebras de Virasoro. Específicamente, la forma en que los campos individuales$\phi_i$transform bajo una transformación conforme es descrito por el grupo definido por el álgebra de Virasoro. La función de cuatro puntos$G_4$puede escribirse como una suma de contribuciones de diferentes representaciones del grupo,

$$G_4(\rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4) = \sum_l G_l f(D_l, d_i, C, x) f(D_l, d_i, C, x^*)$$

Aquí$l$indexa las diferentes representaciones;$C$es una constante (la "carga central" del álgebra de Virasoro); y$d_i$y$D_l$son dimensiones anómalas de los campos externos y del campo interno respectivamente. La función$f$se llama bloque conforme.

$f$es útil porque se puede calcular (en principio o en la práctica, no estoy seguro de cuál) usando solo información sobre una sola representación del grupo Virasoro. Se puede expresar como una serie en$x$de forma conocida, cuyos coeficientes dependen de la estructura del grupo.

Otras lecturas

1. Belavin A. Simetría conforme infinita en la teoría del campo cuántico bidimensional. Física nuclear B. 1984;241(2):333-380. Disponible en: https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X .
2. Zamolodchikov AB. Simetría conforme en dos dimensiones: una fórmula de recurrencia explícita para la amplitud de onda parcial conforme. Comunicaciones en Física Matemática (1965-1997) . 1984;96(3):419-422. Disponible en: https://doi.org/10.1007/BF01214585 .
3. Zamolodchikov AB. Simetría conforme en espacio bidimensional: Representación recursiva de bloque conforme . Física Teórica y Matemática . 1987;73(1):1088-1093. Disponible en: https://doi.org/10.1007/BF01022967 .

y por supuesto el libro de DiFrancesco et al.

Ya hay buenas respuestas tanto desde una perspectiva física como matemática, que explican la idea básica: dada el álgebra de operadores holomorfos (o equivalentemente, el álgebra de simetría) de una CFT, podemos escribir una colección de ecuaciones (las identidades de Ward) que el función de partición de la teoría debe satisfacer en cualquier superficie de Riemann. El espacio de soluciones de estas ecuaciones es el espacio de bloques conformes. Si de hecho tenemos una CFT completa, la función de partición será un bloque conforme particular. Pero dado cualquier bloque conforme, todavía podemos dar sentido a las funciones de correlación en la superficie de Riemann, por lo que podemos realizar gran parte de la teoría de campos.

Hay una buena cantidad de trabajo matemático sobre la extensión de un álgebra quiral a una CFT completa, especialmente en el caso racional (como señaló Scott, este es un enfoque central de la obra extendida de Fuchs, Schweigert, Runkel y colaboradores). Esto implica encontrar una combinación modular invariante de módulos para el álgebra quiral, y puede reducirse a encontrar módulos especiales (objetos de álgebra de Frobenius en la categoría de módulos de tensor trenzado con algunas condiciones). En el caso irracional, esta teoría está realmente en su infancia: hay una noción de lo que deberían ser las branas, pero no hay una teoría de estructura completa.

Creo que un punto de vista muy esclarecedor sobre los bloques conformes se deriva de la idea de que una CFT quiral se parece más a una teoría cuántica de campo tridimensional [topológica] que a una CFT honesta (y esto se puede precisar en el caso racional, ver por ejemplo, el libro de Bakalov-Kirillov). Desde este punto de vista, tenemos una QFT 3d que tiene sentido en fondos curvos (de hecho, topológicamente invariantes), por lo que podemos asignar un espacio de estados de Hilbert a partir de la cuantificación de la teoría en una superficie de Riemann por R. Este espacio de estados es el espacio de bloques conformes. De manera más general, podemos considerar operadores de línea en esta teoría tridimensional, lo que significa que podemos insertar operadores en puntos de la superficie de Riemann por R. Estos operadores corresponden a módulos para el álgebra quiral, y el espacio de Hilbert resultante es el espacio de bloques conformes con inserciones de módulos. Si tenemos un CFT no racional, no obtenemos un QFT topológico 3d completo, pero aún podemos asignar espacios de Hilbert a superficies de Riemann o superficies con inserciones de módulos, por lo tanto, bloques conformes. (En una teoría completa, estos espacios vectoriales se verían obligados a tener una dimensión finita por la buena definición de la traza del hamiltoniano, que es cero en una teoría topológica).

Una teoría de campo conforme es una teoría cuántica de campo que es invariante bajo transformaciones conformes. Debido a esta invariancia, las funciones de correlación deben obedecer a ecuaciones lineales denominadas identidades conformes de Ward. Los bloques conformes no son solo soluciones de las identidades conformes de Ward, sino elementos de una base particular de soluciones. Centrémonos en CFT bidimensional. En dos dimensiones, las transformaciones conformes se describen mediante dos álgebras de Virasoro, llamadas de movimiento hacia la izquierda (u holomorfas) y de movimiento hacia la derecha (o antiholomórficas).

La pregunta fue formulada en términos de$n$bloques conformes de punto cero en el plano complejo, pero es técnicamente más simple considerar primero bloques conformes de punto cero en el toro . Estos son solo caracteres de representaciones del álgebra de Virasoro. De hecho, suponga que desea calcular una función de punto cero toroide (función de partición),

$$Z = \mathrm{Tr}_S q^{E} \bar{q}^{\bar{E}}$$ dónde $q$es el módulo (exponenciado) del toro, $E$y $\bar{E}$son los operadores de energía asociados respectivamente a las álgebras de Virasoro de movimiento hacia la izquierda y hacia la derecha, y $S$es el espacio de estados de tu CFT. El espacio de estados se puede descomponer en representaciones de las álgebras de Virasoro, $$S = \bigoplus_{R, \bar{R}} m_{R,\bar{R}} R\otimes \bar{R}$$ dónde $R, \bar{R}$son representaciones de nuestras dos álgebras de Virasoro, y los números enteros $m_{R,\bar{R}}$son sus multiplicidades. Luego calculando la traza sobre $S$se reduce a sumar los estados en cada representación $R$o $\bar{R}$, y tal suma es por definición un carácter $$\chi_R(q) = \mathrm{Tr}_R q^{E} = \sum_L q^{E(L)}$$ dónde $L$etiqueta una base ortonormal de $R$, hecho de vectores propios de $E$. Entonces obtenemos $$Z = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}(\bar{q})$$ Esta es la descomposición en bloques conforme de $Z$: los bloques conformes $\chi_R(q)$, $\chi_{\bar{R}}(\bar{q})$son funciones localmente holomorfas de $q$y $\bar{q}$, están completamente determinados por simetría conforme y están parametrizados por representaciones del álgebra de simetría. Por otra parte, las multiplicidades $m_{R,\bar{R}}$quedan indeterminados por la simetría.

Las mismas ideas se aplican a la función de esfera de cuatro puntos . Una función de cuatro puntos se puede descomponer en productos de funciones de tres puntos insertando un operador de identidad, y obtenemos esquemáticamente

$$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \sum_{L,\bar{L}} \left< V_1V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right> \left< (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \middle| V_3V_4\right>$$ Ahora resulta que una función de tres puntos $\left< V_1 V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right>$, está determinada por simetría conforme hasta un factor $C_{1,2,(R,\bar{R})}$, que no depende ni de $z_i,\bar{z}_i$ni en $L,\bar{L}$, y tenemos $$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} C_{1,2,(R,\bar{R})} C_{(R, \bar{R}), 3,4} F_R(z_i) F_{\bar{R}}(\bar{z}_i)$$ El bloque conforme de cuatro puntos $F_R(z_i)= \sum_L \cdots$está completamente determinada por la simetría conforme. Depende de todos los parámetros que se mueven a la izquierda: las posiciones $z_i$, la $s$-representación del canal $R$, y las representaciones que se mueven a la izquierda que corresponden a los campos $V_i$. Hasta factores triviales, un bloque conforme de cuatro puntos es en realidad una función de la relación cruzada $z=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}$: esta es una consecuencia simple de las identidades de Ward, que se mantiene ya sea que tenga simetría conforme local o global. Un bloque conforme generalmente no obedece a ninguna ecuación diferencial en $z$. Obedece a una ecuación de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov solo si al menos uno de los campos $V_i$es un llamado campo degenerado.

Los bloques conformes son útiles porque son cantidades universales , en el sentido de que están determinados por simetría conforme. Para determinar las funciones de correlación en un modelo específico, todo lo que queda por hacer es calcular cantidades dependientes del modelo, como las multiplicidades$m_{R,\bar{R}}$y los factores$C_{1,2,(R,\bar{R})}$. Estas cantidades dependientes del modelo son más simples que las funciones de correlación: en particular, normalmente dependen de menos parámetros.

Para obtener más detalles en este sentido, consulte mi artículo de revisión .

La teoría del campo conforme es la teoría de la invariancia de escala (o comportamiento de orden grande) en dos dimensiones. Escalar significa depender únicamente de los ángulos. En 2d, el grupo de transformaciones (conformes) que conservan el ángulo es de dimensión infinita y, de hecho, solo hay un número finito de grados de libertad en una métrica 2d después de las transformaciones conformes y los difeomorfismos. (Los grados de libertad son el espacio de módulos de las superficies de Riemann).

Los campos en una teoría con simetría conforme deben dar representaciones de este álgebra de simetría, y tales representaciones están etiquetadas por un número cuántico llamado dimensión conforme o peso. Las transformaciones en sí son cambios holomorfos de coordenadas ($z \rightarrow f(z)$y son generados por el álgebra de Lie de campos vectoriales holomorfos$L_n := -z^{n+1}\partial_z$y sus complejos conjugados. Puedes calcular esta álgebra:$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$que se llama el álgebra de Virasoro. (Hay dos de estos, uno con z y otro con barra z). Mecánicamente cuánticamente, esta álgebra puede corregirse mediante la anomalía conforme parametrizada por la carga central ("central" porque el término adicional conmuta con todos los demás).

Ahora, al igual que en una teoría de rotación invariante, si desea saber cómo se ve una solución después de una rotación, solo necesita saber en qué representación se encuentra el estado, en una teoría conforme, si desea cambiar las coordenadas infinitesimalmente, solo necesita saber los pesos conformes de los campos. Pero tales transformaciones son cambios de coordenadas infinitesimales, por lo que esto da una ecuación diferencial que el correlador debe obedecer. Todo en la teoría se puede escribir en términos de soluciones a estas ecuaciones diferenciales, que se denominan bloques conformes . (Hay soluciones en$\bar{z}$, también.)

Este método se detalla en el trabajo clásico de Belavin, Polyakov y Zamolodchikov (NPB 241 (1988) p. 333) (otro pionero es Knizhnik).

pd La teoría de cuerdas tiene que ver con las teorías de campo 2d y su dependencia de los módulos de las superficies de Riemann. La condición de que la teoría conforme esté libre de anomalías es la forma más común de derivar fórmulas de dimensión en la teoría de cuerdas.