QFT conformes para D> 2D> 2D> 2

La clase de QFT 3d que son manifiestamente unitarias y tienen lagrangianos clásicos en el caparazón que son invariantes bajo el rígido$N$Se sabe que la superálgebra conformal extendida admite una buena caracterización para$N>3$. Esta caracterización se debe a Gaiotto y Witten (en la sección 3.2 de https://arxiv.org/abs/0804.2907 ) y allanó el camino para una serie de resultados de clasificación posteriores para$N>3$SCFTs en 3d en los últimos años.

El genérico en la cáscara$N=3$el lagrangiano dentro de esta clase implica un término de Chern-Simons para un campo de calibre no dinámico acoplado a campos de materia hipermultiplete en una representación real del grupo de calibre. Clásico$N=3$La simetría superconforme fija el superpotencial únicamente en términos de una función cuártica canónica que se construye a partir de la representación de la materia. Los teoremas de no renormalización sugieren que cualquier teoría de este tipo disfruta exactamente de la misma simetría superconforme a nivel cuántico. Una elección de grupo de calibre, representación de materia y acoplamientos de Chern-Simons es, por lo tanto, suficiente para definir cualquier lagrangiano de este tipo.

La forma rígida de la$N=3$El superpotencial se puede deducir al observar la posible estructura de los acoplamientos de Yukawa en el lagrangiano en el caparazón. En particular, se sigue del requisito de que sean invariantes bajo la${\mathfrak{so}} (3)$R-simetría en el$N=3$superálgebra. La idea clave de Gaiotto y Witten fue darse cuenta de que la mejora de$N>3$La simetría superconforme solo puede ocurrir si estos acoplamientos de Yukawa son invariantes bajo el${\mathfrak{so}} (4)$R-simetría en el$N=4$superálgebra. En pocas palabras, su caracterización para que esto ocurra es que el álgebra de calibre y la representación de la materia deben acumularse en las partes pares e impares de una cierta superálgebra de mentira auxiliar.

Para$N>4$, resulta que cualquier lagrangiano indescomponible dentro de esta clase se basa en una representación de materia irreducible caracterizada por una incrustación en una de las clásicas superálgebras de mentira simple (clasificadas por VG Kac en 1977). Para$N=5$, cada tipo de superálgebra de mentira simple clásica codifica un lagrangiano superconforme. El refinamiento a$N>5$recupera la clasificación obtenida por Schnabl y Tachikawa en https://arxiv.org/abs/0807.1102 , conteniendo como casos especiales los célebres modelos ABJ(M) y BLG. Uno puede probar que$N=7$no ocurre, en el sentido de que automáticamente implica$N=8$.

Para$N=4$, el panorama general es un poco más complicado. Dado$N>4$simetría superconformal, se deduce que el espacio objetivo para los escalares hipermultiplete debe ser plano. Este no es necesariamente el caso de$N=4$aunque y uno puede construir$N=4$SCFT donde el lagrangiano hipermultiplete se reemplaza por un modelo sigma no lineal calibrado (con objetivo hiperKähler no plano). el indescomponible$N=4$Las SCFT con objetivo plano tienen una clasificación bastante elaborada (descrita al final de la sección 3.1 en https://arxiv.org/abs/0908.2125 ) en términos de ciertas cadenas de superálgebras clásicas de mentira simple cuyas reglas de enlace recuerdan al juego de dominó. !