¿Una identidad útil para las matrices Gell-Mann su(3)su(3)su(3)?

Sí, claro. El anticonmutador para las matrices de Gell-Mann es algo más elaborado que para las matrices de Pauli, ya que también hay un coeficiente d , por lo que dividir el$\lambda$-matriz bilineal en conmutadores y anticonmutadores rendimientos

$$(\vec{\lambda}\cdot\vec{a})(\vec{\lambda}\cdot\vec{b}) = a^\mu \lambda^\mu ~b^\nu \lambda^\nu = a^\mu b^\nu \left (\tfrac{1}{2} [\lambda^\mu,\lambda^\nu] + \tfrac{1}{2} \{\lambda^\mu,\lambda^\nu \}\right )= \\ =a^\mu b^\nu ( if_{\mu \nu\kappa} \lambda^\kappa + d_{\mu\nu\kappa} \lambda^\kappa + \tfrac{2}{3} \delta_{\mu\nu} 1\!\!1) \\ =\tfrac{2}{3} 1\!\!1 a\cdot b +a^\mu b^\nu (if_{\mu \nu\kappa}+d_{\mu \nu\kappa})\lambda^\kappa,$$ el segundo término es análogo al producto cruzado, excepto que ahora tiene una pieza simétrica y otra antisimétrica.

punto de bonificación La combinación de dos octetos producirá un 64 reducible ,

$$8\otimes 8= 27\oplus\overline{10}\oplus10\oplus8\oplus8\oplus1 .$$ El singlete simétrico es explícito arriba (tal como lo es el singlete SU(2) para las matrices de Pauli), y el término d simétrico anterior se reduce a uno de los dos 8 s, y no al 27 .

El término f antisimétrico se reduce a los otros 8 y no al 10 y su conjugado.

Las 8 matrices hermitianas$m^\kappa _{\mu\nu}\equiv (if_{\mu\nu\kappa} +d_{\mu\nu\kappa} )$son muy escasos , mucho más que sus análogos de momento angular SU(2). Su pieza antisimétrica (imaginaria) desaparece a menos que haya 1 o 3 índices del conjunto 2,5,7; y su pieza simétrica (real) desaparece a menos que haya un número par de índices del mismo conjunto. Por ejemplo,

$$m^2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i &0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &1/\sqrt{3} \\ i & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &i/2 &-1/2 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &1/2 &i/2 &0 \\ 0 & 0 & 0 &-i/2 &1/2 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &-1/2 &-i/2 &0 &0 &0 \\ 0 & 1/\sqrt{3} & 0 &0 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} ,$$ etcétera. ¡Tenga en cuenta que esta matriz solo está llena 3/16!

(Desafortunadamente) no existe tal generalización: las propiedades de las matrices de Pauli que hacen posibles tales identidades están estrechamente ligadas a la$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z_2}$estructura graduada de las matrices (ver 2. abajo).

Sin embargo, como parte de esta respuesta negativa, le señalaré lo siguiente:

1. Arvind, KS Mallesh y N. Mukunda, Una fórmula de fase geométrica de Pancharatnam generalizada para sistemas cuánticos de tres niveles , disponible en arxiv .
2. Patera, J. y H. Zassenhaus. Las matrices de Pauli en n dimensiones y graduaciones más finas de álgebras de Lie simples de tipo$A_{n− 1}$, Journal of Mathematical Physics 29.3 (1988): 665-673 (antes de arxiv, detrás del muro de pago). Ver también: Patera, J. Los cuatro conjuntos de números cuánticos aditivos de SU(3). Revista de física matemática 30.12 (1989): 2756-2762 (también detrás del muro de pago).

El primero te dará relaciones geométricas similares al producto cruz de matrices de Pauli, y también una$\star$operación en las matrices de Gell-Mann, pero no lo que quiere. El segundo le proporcionará una base alternativa (de matrices no hermíticas pero unitarias) que, sin embargo, tienen algunas propiedades agradables (como$A^3\sim 1_{3\times 3}$, que generalizan algunas de las propiedades de las de Pauli.

(Desearía que alguien pudiera mostrar que mi respuesta es incorrecta, ya que me encantaría saber esa relación).