Pregunta de rango superior γγ\gamma-matrix

Leí que el rango más alto γ las matrices se pueden escribir como conmutadores y anticonmutadores alternos. Por ejemplo, la matriz gamma de rango 3 se puede escribir como

(1) γ 123 = 1 2 { γ 1 , γ 23 } ,
dónde
(2) γ 23 = 1 2 [ γ 2 , γ 3 ] .
Ahora bien, si ponemos (2) en (1) obtenemos cuatro términos y un factor general de 1/2. A pesar de eso, si tomamos las permutaciones de 1,2,3 obtenemos 6 elementos, a saber, el simétrico 123 , 312 , 231 y el antisimétrico 132 , 321 , 213 . Por lo tanto, tenemos 6 elementos y deberíamos tener un factor general de 1 / 3 ! = 1 / 6 .

Mi pregunta es: ¿hay algún error en la definición de (1)?

PD Tenga en cuenta que γ 1 … d = γ [ 1 γ 2 … γ d ]

¿Estás hablando de la página 41 de Supergravedad? (Freedman-Van Proeyen)
¡Sí! esto es exactamente de lo que estoy hablando

Respuestas (2)

La definición (tenga cuidado de no confundir el tensor genérico con los componentes del tensor) del tensor gamma antisimétrico es:

γ m 1 m 2 … m r = γ [ m 1 m 2 … m r ]

Para el rango más alto que tienes r = D , por lo que debe utilizar todos los índices posibles. Por ejemplo, en componentes, tienes la identidad:

γ 1 2 3 = 1 3 ! ( γ 1 2 3 − γ 132 − γ 21 3 + γ 231 − γ 321 + γ 312 )

eso es cierto, usando la anticonmutatividad de las matrices gamma y el hecho de que en componentes γ 1 2 3 = γ 1 γ 2 γ 3 . Usando este razonamiento puedes demostrar que tu expresión (1) es verdadera. (tienes dos factores 1/2, entonces un total de 1/4 y cuatro términos)

Más explícitamente:

γ 123 = 1 2 { γ 1 , γ 23 } = 1 2 ( γ 1 γ 23 + γ 23 γ 1 ) = 1 4 ( γ 1 γ 2 γ 3 − γ 1 γ 3 γ 2 + γ 2 γ 3 γ 1 − γ 3 γ 2 γ 1 ) = γ 1 γ 2 γ 3 = γ 123

Claro, estoy de acuerdo con lo que dices. Pero si expandes (1) terminas con 4 términos. dos que tienen γ 1 en el principio y dos que lo tienen al final. Todavía me faltan los dos términos que lo tienen en el medio.
Ok, veo lo que estaba haciendo mal. Muchas gracias @Rexcirus. ¡Qué estupidez la mía!
¡No te preocupes! ¡Le puede pasar a cualquiera! XDD

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero en tu eq. (2) hay dos términos iguales en el lado derecho, y el factor es 1/2 para tener eso en cuenta. En su ecuación (1) también hay dos términos iguales en el lado derecho, y el factor es 1/2 para tener eso en cuenta. No hay sumatoria sobre todas las permutaciones en sus fórmulas.

¿Cuáles son los términos iguales? γ 2 γ 3 ≠ γ 3 γ 2
@Marion: γ 2 γ 3 = − γ 3 γ 2
Claro, lo sé.
@Marion: Entonces, ¿cuál parece ser el problema? El anticonmutador en (2) incluye estos dos términos iguales.
Me olvidaría de usar este hecho y trataría de expandir completamente todo el tensor de 3 rangos. Es realmente simple, aunque de hecho.
Pregunta de rango superior γγ\gamma-matrix
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v