Normalización de las matrices γγ\gamma

Mientras estudiaba el$\gamma$-matrices, también me enfrenté a la misma pregunta. Aquí tal vez una solución sobre esto.

Primero, la convención es la misma:

$$(\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0}$$ $$(\gamma^{k})^{\dagger}=-\gamma^{k}$$ $$(\gamma^{0})^{2}=I\,\,\mathrm{and}\,\,(\gamma^{k})^{2}=-I$$ Además, aquí se utiliza la ecuación, $$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2g^{\mu\nu}I$$ Especialmente, para el $\gamma^{0}$y $\gamma^{k}$, $$\{\gamma^{0},\gamma^{k}\}=0$$ Entonces podemos ver, $$(\gamma^{0} \gamma^{k})^{\dagger}=(\gamma^{k})^{\dagger} (\gamma^{0})^{\dagger}$$ y $$\gamma^{0} \gamma^{k}=-\gamma^{k} \gamma^{0}$$ entonces $$(-\gamma^{k} \gamma^{0})\dagger=(\gamma^{k})^{\dagger} (\gamma^{0})^{\dagger}$$ $$-\gamma^{0} (\gamma^{k})^{\dagger}=-\gamma^{k} \gamma^{0}$$ $$(\gamma^{k})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{k} \gamma^{0}$$ también sabemos que $$(\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{0} \gamma^{0}$$ Podemos combinarlos para ver $$(\gamma^{\mu})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}$$ Notando que aquí ya hemos seleccionado una representación específica.

• para$(\gamma^0)^2 = I_4$, entonces$(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0$;
• para$(\gamma^i)^2 = -I_4$, entonces$(\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i$

Que:${\gamma_\mu}^\dagger = \gamma^0\gamma_\mu\gamma^0$