Las equivalencias de homotopía que conservan la fibra forman un grupo hasta la homotopía.

Question

Las equivalencias de homotopía que conservan la fibra forman un grupo hasta la homotopía.

Matemáticas
cubriendo espacios
teoría de la homotopía
Topología algebraica

Rylee Lyman

Dejar $p\colon \tilde X \to X$ ser un espacio de cobertura. Una equivalencia de homotopía $\tilde f\colon \tilde X \to \tilde X$ conserva la fibra si $p(\tilde x) = p(\tilde y)$ implica $p\tilde f(\tilde x) = p\tilde f(\tilde y)$ . (Aviso: esto es diferente de la noción de una "equivalencia de homotopía de fibra"; en particular, no tenemos $p\tilde f = p$ , solo eso $\tilde f$ induce un mapa $f\colon X \to X$ .)

Dejar $\operatorname{fhe}(\tilde X)$ denote el espacio de equivalencias de homotopía que conservan la fibra de $\tilde X$ en la topología compacta-abierta. me gustaria ver eso $\pi_0(\operatorname{fhe}(\tilde X))$ es un grupo Desde $\operatorname{fhe}(\tilde X)$ es un $H$ -espacio bajo composición de funciones, está claro que obtenemos un monoide, por lo que el único problema es mostrar que los elementos tienen inversas.

Concretamente: dada una equivalencia de homotopía que conserva la fibra $\tilde f$ , ¿existe una equivalencia de homotopía para conservar la fibra? $\tilde g$ tal que $\tilde g\tilde f$ y $\tilde f\tilde g$ son homotópicos a la identidad a través de equivalencias homotópicas que preservan la fibra?

Respuestas (1)

Las equivalencias de homotopía que conservan la fibra forman un grupo hasta la homotopía.

Thorgott · Answer 1

No me parece. Considere un caso donde $\tilde{X}$ es contraible y $X$ no es, por ejemplo, la cubierta universal de $S^1$ por $\mathbb{R}$ . Un mapa constante $c\colon\tilde{X}\rightarrow\tilde{X}$ es una homotopía-equivalencia, ya que $\tilde{X}$ es contractible, y trivialmente preserva la fibra. Para cualquier equivalencia de homotopía que preserve la fibra $\tilde{g}$ , $\tilde{g}c$ es un mapa constante de todos modos. Por lo tanto, basta con darse cuenta de que un mapa constante no es homotópico para la identidad a través de equivalencias homotópicas que conservan la fibra. De hecho, un mapa constante ni siquiera es homotópico para la identidad a través de mapas que conservan la fibra, ya que tal homotopía induciría una homotopía de un mapa constante en $X$ a la identidad en $X$ , contradiciendo que $X$ no es contraible.

Bueno, ahora estoy completamente confundido. ¡Gracias por el claro contraejemplo!
confundido sobre el uso de "equivalencia de homotopía" aquí para $c$ . tal vez $c:\tilde{X} \to \tilde{X}$ ?

Las equivalencias de homotopía que conservan la fibra forman un grupo hasta la homotopía.

Rylee Lyman

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