¿Las dimensiones del vector de función de onda en el espacio de Hilbert dependen del número de funciones propias de las que es una superposición?

He visto a personas decir que las funciones de onda representadas como vectores en un espacio de Hilbert pueden (pero no necesariamente) tener dimensiones infinitas. Entonces, si un vector de estado requiere un número X de funciones propias básicas combinadas linealmente para representarlo, ¿el vector de estado en sí debe tener X componentes (dimensiones)?

Entonces, en el caso del espacio de momento, la función de onda total es una combinación lineal de funciones propias de forma de onda plana, si hay funciones propias infinitas, ¿este es un espacio de Hilbert de dimensión infinita? ¿O si el vector de estado de función de onda requiriera solo 100 funciones propias para describirlo, este vector de estado existe en un espacio de Hilbert de 100 dimensiones?

Tal vez estoy malinterpretando algo fundamental, todavía soy muy nuevo en esto. Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Suele ser habitual hablar de la dimensión de un espacio vectorial (topológico), no de la dimensión de un vector (elemento de ese espacio).
¿Eso es solo una convención? ¿Tengo razón entonces al pensar que cuando expandes la función de onda como una combinación lineal de e^(ikx) funciones propias de onda plana, el número de funciones propias necesarias para construir la función de onda es el mismo que la dimensionalidad del espacio de Hilbert en el que existe?

Respuestas (1)

La dimensionalidad de un espacio vectorial V está determinado por cuántos vectores están presentes en una base de V . Es relativamente sencillo demostrar que todos los conjuntos de bases de un espacio vectorial tienen el mismo tamaño.

No existe una noción correspondiente de dimensionalidad para un vector individual (distinto de cero) v ∈ V . La forma más obvia de ver esto es simplemente elegir una base de la cual v es un miembro, en cuyo caso el número de vectores base necesarios para "construir" v es trivialmente 1.

En otras palabras, el número de vectores base necesarios para construir algún vector distinto de cero v ∈ V depende del conjunto base con el que elija trabajar.

Entonces, ¿se puede escribir la función de onda como un vector columna de la misma manera que se pueden escribir los vectores en R^3? ¿Son los componentes teóricos del vector columna de la función de onda simplemente la lista de funciones propias multiplicada por sus coeficientes?
Los números que se apilan en un vector columna son los coeficientes de los vectores base. Siempre que su espacio de Hilbert sea de dimensión finita, puede representar sus vectores de la misma manera. Si el espacio es de dimensión infinita, entonces el vector columna tendría que ser infinitamente largo, pero se aplica la misma idea.
Lo siento, solo para ser claros, ¿los componentes de la función de onda hipotética en forma de vector de columna son solo los coeficientes? Si este es el caso, ¿dónde existen las funciones propias?
Cada vez que escribe un vector de columna, está (quizás implícitamente) eligiendo una base sobre la cual trabajar. El vector de columna ( a b ) es la abreviatura de " a multiplicado por el primer vector base más b veces el segundo vector base".
¿Las dimensiones del vector de función de onda en el espacio de Hilbert dependen del número de funciones propias de las que es una superposición?
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