Estado propio instantáneo y ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Question

Estado propio instantáneo y ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

manú

Estado propio instantáneo $\psi(t)$ Se define como
$\hat H(t)\psi(t)=E(t)\psi(t)\tag{1}$

Pero en las notas de clase de Quantum Physics III MIT (en la sección de aproximación adiabática), está escrito que $\psi(t)$ puede no ser la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

No soy capaz de entender por qué es eso.
En $t=0$ , $(1)$ se convierte $\hat H(0)\psi(0)=E(0)\psi(0)\tag{2}$
Esto significa $\psi(0)$ es el estado propio de $\hat H(0)$
Sabemos que TDSE es de primer orden en el tiempo. Si conocemos el estado en el momento $t=0$ , luego obtenemos el vector de estado en otros momentos también.
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(t)=\hat H(t)\psi(t),\;\text{At t=0 we have }\psi(0)\tag{3}$
ahora desde $(3)$ , $\psi(t)$ evoluciona y $\hat H$ también cambia con el tiempo ya que depende explícitamente del tiempo.
entonces no puedo $\psi(t)$ evolucionará de tal manera que $(1)$ y $(3)$ sostiene simultáneamente?
No soy capaz de entender claramente por qué ambos $(1)$ amd $(3)$ no aguantará simultáneamente.

j murray

¿Cuál libro? ¿Puede proporcionar una cotización más directa?

manú

Si seguro. He editado en mi publicación.

manú

Creo que tengo dificultades para interpretar el estado propio instantáneo.

hans wurst

Física relacionada.stackexchange.com/questions/433851/…

marzo

puedes escribir

ℏ

$\hbar$ como \hbaren MathJax (LaTeX).

Respuestas (2)

Estado propio instantáneo y ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

¿Cuál libro? ¿Puede proporcionar una cotización más directa?
Creo que tengo dificultades para interpretar el estado propio instantáneo.

j murray · Answer 1

El punto señalado por Zweibach en esas notas es cierto incluso para los hamiltonianos independientes del tiempo.

Dejar $\psi:\mathbb R\rightarrow \mathscr H$ ser una trayectoria a través del espacio de Hilbert $\mathscr H$ , dónde $\psi(t)$ se entiende que es el vector de estado del sistema en el tiempo $t$ . La ecuación de Schrödinger es

\begin{matrix} (1) & i ℏ ψ^{'} (t) = H (t) ψ (t) \end{matrix}

$i\hbar \psi'(t) = H(t) \psi(t)\tag{1}$

Supongamos que para cada $t$ , $\psi(t)$ es un vector propio de $H(t)$ con valor propio $E(t)$ . Eso es,

\begin{matrix} (2) & H (t) ψ (t) = mi (t) ψ (t) \end{matrix}

$H (t)\psi(t) = E(t)\psi(t)\tag{2}$

El punto de Zweibach es que no se sigue que $\psi(t)$ es una solucion a $(1)$ . taponamiento $(2)$ en $(1)$ rendimientos

i ℏ ψ^{'} (t) = mi (t) ψ (t) ⟹ ψ^{'} (t) = - \frac{i mi (t)}{ℏ} ψ (t)

$i\hbar \psi'(t) = E(t) \psi(t) \implies \psi'(t) = -\frac{i E(t)}{\hbar} \psi(t)$

Obviamente, esta ecuación no se satisface con trayectorias arbitrarias. $\psi$ ; incluso si el hamiltoniano es independiente del tiempo y $E(t) \equiv E_0$ es constante, para que $\psi$ ser una solución a $(1)$ debemos tener eso

ψ (t) = {mi}^{- i {mi}_{0} t / ℏ} ψ (0)

$\psi(t) = e^{-iE_0 t/\hbar} \psi(0)$

Como ejemplo explícito, considere la partícula elemental en una caja de longitud $L$ . El vector propio del estado fundamental para este sistema es $\psi_0 = \sqrt{2/L} \sin\big(\pi x/L\big)$ con valor propio $E_0 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ . si dejamos $\psi(t)=\psi_0$ , vemos que para cada $t$ , $\psi(t)$ es un vector propio instantáneo del hamiltoniano (lo que significa que $H\psi(t) = E_0 \psi(t)$ ); sin embargo, también es obvio que $\psi(t)$ no resuelve la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo) $(1)$ .

por simetría · Answer 2

Creo que la forma más fácil de ver esto es con un ejemplo. Considere un hamiltoniano que cambia repentinamente en $t=0$

\begin{aligned} H (t) = {\begin{cases} H_{1} & t \leq 0 \\ H_{2} & t > 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(t) = \begin{cases} H_1 & t \le 0 \\ H_2 & t > 0 \end{cases} \end{align}$ Ahora los autoestados instantáneos cambiarán, correspondientemente, repentinamente en

t = 0

$t=0$ de estados propios de

H_{1}

$H_1$ a estados propios de

H_{2}

$H_2$ . Sin embargo, si consideramos las soluciones a la ecuación de Scrhodinger, no hay forma de que puedan saltar de esta manera. No saben lo hamiltoniano

H_{2}

$H_2$ el sistema va a saltar, o que va a saltar en absoluto.

Los autoestados instantáneos son solo eso; están enteramente determinados por el hamiltoniano instantáneo . El resultado de integrar la ecuación de Schrödinger, sin embargo determinada por toda la historia de $H(t)$ para todos los tiempos de regreso a cualquier momento en que establezcamos nuestras condiciones de contorno.

Muchas gracias por la respuesta. Tengo una duda de seguimiento. Considere un caso general. como en t=0, $\hat H(0)$ tiene un conjunto de vectores propios. Tome cualquiera de ellos decir $\psi(0)$ . Este es el estado en el que se encuentra el sistema en t=0. Ahora para cualquier $\epsilon>0$ , $\hat H(\epsilon)$ tienen algún otro conjunto de estados propios. Ahora digamos que tomamos $\tilde\psi(\epsilon)$ . Ahora podemos decir como $\epsilon\to 0,\;\tilde\psi(\epsilon)\to\psi(0)$ ? Porque si ese es el caso, entonces podemos ver $\psi$ ir evolucionando con el tiempo que ha de ser también la solución de TDSE.
El ejemplo en mi respuesta da un contraejemplo explícito. En este caso $\tilde{\psi}$ es un estado propio de $H_2$ . Como $\epsilon \rightarrow 0$ el tiempo evoluciona trivialmente bajo $H_2$ y por lo tanto no tiende a $\psi(0)$ , que es un estado propio de $H_1$
Ok, creo que ahora he entendido. Entonces, básicamente el $(1)$ puede no ser la ecuación de evolución del vector de estado, como ha demostrado en su ejemplo. Pero por aproximación adiabática, podemos escribir la evolución del vector estancia en términos de estados propios instantáneos. ¿Estoy en lo correcto?
Y también en su ejemplo, si usamos la teoría de la perturbación dependiente del tiempo hasta el primer orden, podemos obtener una superposición de estados propios (de t> 0) no un estado puro como se indica en (1). Entonces (1) no es una ecuación de evolución.
Solo tengo una última duda. En su ejemplo, ha asumido explícitamente la discontinuidad en el hamiltoniano. Pero supongamos que el hamiltoniano varía continuamente, ¿cómo podemos estar seguros de que $(1)$ no es una ecuación de evolución.

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