En física nos encontramos con la diagonalización de matrices u operadores en una variedad de áreas. Pero hay diferentes tipos, los dos principales son la descomposición de Schmidt y la diagonalización de valores propios .
En general, los dos son diferentes: la descomposición de Schmidt también funciona para matrices no cuadradas, mientras que la diagonalización de valores propios está restringida a matrices cuadradas. Incluso para matrices cuadradas, generalmente no son iguales. Por otro lado, coinciden para algunos casos (matrices cuadradas simétricas, creo. ¿O es hermético?).
Mi pregunta es ¿cuándo usamos cuál y por qué?
Por ejemplo, cuando se trata de hamiltonianos en espacios de Hilbert de dimensión finita (no estoy seguro de si infinito también funciona), parece que siempre estamos usando la diagonalización de valores propios. Mi sospecha es que esto se debe a que necesitamos que los estados/vectores izquierdo y derecho de la matriz diagonal sean iguales, ya que de lo contrario los valores propios no podrían interpretarse como las energías del sistema y los estados no serían los estacionarios.
Para matrices de densidad de sistemas multipartitos, parece que estamos usando la descomposición de Schmidt la mayor parte del tiempo. Mi sospecha en este caso es que esto se debe a que los valores de Schmidt tienen la interpretación de probabilidades (ya que siempre son positivas).
La descomposición de Schmidt es en general una descomposición en valores singulares (SVD) y se aplica sobre vectores de onda y no sobre matrices de densidad.
Al tratar con vectores de onda bipartitos, usamos SVD porque no hay restricción de que el tamaño de los dos sistemas en cuestión sea el mismo. Entonces, la matriz de los coeficientes del vector de onda puede ser rectangular y SVD se puede calcular para matrices rectangulares.
Dado que los hamiltonianos son matrices hermitianas, sus vectores singulares izquierdo y derecho son los mismos. Una razón para preferir los valores propios a los valores singulares es que los valores singulares siempre están obligados a ser positivos mientras que no existe tal restricción para la energía de un sistema. Para las matrices hermitianas, los valores singulares son los valores absolutos de los valores propios.
Nota: Los vectores singulares izquierdo y derecho de una matriz contienen los vectores propios de y . Así que si entonces SVD y la diagonalización de valores propios coinciden. Las matrices que satisfacen esto se llaman matrices normales.
Editar: Además de ser normal, también debe ser positivo semidefinido (Todos los valores propios son ) para que SVD y descomposición propia coincidan.
Emilio Pisanty
Wolpertinger