Aclaración sobre dos formas de la función de onda

Tal vector describe el estado cuántico de una partícula de espín-1 en una línea, o cualquier otra partícula con un grado de libertad de posición y 3 estados internos.

Para empezar, puede expandir las funciones de onda en una base. Por ejemplo, si tienes una función de onda$\vert\psi\rangle$que depende de la posición, puede expandirlo en la base de posición$\vert x \rangle_p$, es decir, escribir

$$\vert\psi\rangle = \int \psi(x)\vert x\rangle_\mathrm{p} \mathrm{d}x\ ,$$ dónde $\psi(x)=\langle x\vert\psi\rangle$. Uno también a menudo solo escribe $\psi(x)$en ese caso.

Ahora, si tiene un estado cuántico que no depende de la posición, sino, por ejemplo, de algún grado de libertad interno$s=0,...,S-1$(por ejemplo, un giro siendo$+1$,$0$, o$-1$), entonces podrías escribir

$$\vert\psi\rangle = \sum_{\sigma=0}^{S-1} \psi_\sigma \vert\sigma\rangle_\mathrm{s}\ ,$$ dónde $\psi_\sigma = \langle \sigma \vert\psi \rangle$. (Claramente, la base de espín $\vert \sigma \rangle_s$no tiene nada que ver con la base de posición $\vert x \rangle_\mathrm{p}$-- uno tiene que tener cuidado aquí, y la notación es a menudo descuidada.) Dado que $\sigma$tiene un número discreto de configuraciones, esto a menudo se escribe como un vector con $S$componentes, por ejemplo, para $S=3$ $$\vert\psi\rangle = \left(\begin{matrix} \psi_0\\\psi_1\\\psi_2 \end{matrix}\right)\ .$$ Ahora imagine que tiene un objeto que tiene posición y giro (por ejemplo, una partícula de giro 1, que tiene 3 estados de giro). Entonces, se puede escribir como $$\vert\psi\rangle = \int\mathrm{d}x \sum_{\sigma=0}^{S-1} \psi_\sigma(x) (\vert\sigma\rangle_\mathrm{s}\otimes \vert x\rangle_\mathrm{p})\ ,$$ o como $$\vert\psi\rangle = \left(\begin{matrix} \psi_0(x)\\\psi_1(x)\\\psi_2(x) \end{matrix}\right)\ .$$ Por lo tanto, su vector describe el estado cuántico de una partícula con alguna posición y 3 estados internos (por ejemplo, una partícula de giro 1 en una línea).