Matemáticas del problema de valores propios en mecánica cuántica

Aprendí el problema de valores propios en álgebra lineal antes y descubrí que la mecánica cuántica asocia la ecuación de Schrödinger con el problema de valores propios. En álgebra lineal, siempre damos la matriz de cierto tamaño (por ejemplo, 4x4), por lo que encontrar los valores propios es idéntico a resolver la ecuación secular relacionada. En la mecánica cuántica, en la mayoría de los casos, parece que la dimensión de la matriz no se conoce o es muy grande, entonces, ¿cómo encontrar el valor propio en esos casos? Acabo de ver un problema en un libro, si sabemos A | a ⟩ = a | a ⟩ y A | b ⟩ = b | b ⟩ para un operador hermitiano A . ¿Cuál es el valor propio de un operador de Hamilton? H = | a ⟩ ⟨ b | + | b ⟩ ⟨ a | . Es muy confuso para mí porque si no conocemos la matriz y los elementos, ¿cómo podemos escribir la ecuación secular y encontrar los valores propios? Lo siento, no tomé ninguna clase de mecánica cuántica antes, lo aprendo todo yo mismo, por lo que podría estar equivocado en alguna afirmación anterior.

Esto es solo un comentario y no una respuesta a sus preguntas, pero quería mencionar que en los sistemas físicos típicos, el espacio de Hilbert debe tener una dimensión infinita. Esto se aplica con mayor precisión cuando tiene un par de variables conjugadas canónicamente, digamos un operador de posición q ^ y operador de momento pag ^ . Por definición de 'canónicamente conjugados' satisfacen [ q ^ , pag ^ ] = i Identificación (hasta un cartel). Si la dimensión es finita, entonces la huella de cualquier operador está definida y tomando la huella de esta relación se llega a una contradicción.

Respuestas (5)

En principio, el operador H no es una matriz. Sin embargo, puede escribir una representación matricial. Para eso, necesita una base, que debe ser completa (= matriz muy grande, probablemente infinitamente grande); para muchos casos que ilustran la mecánica cuántica, no está completa.

Si su base consiste en | a ⟩ y | b ⟩ , no está completo, pero aún puede describir algunos efectos muy bien.

diste el ejemplo H = | a ⟩ ⟨ b | + | b ⟩ ⟨ a | , Lo que significa que H es (es solo otra forma de escribirlo)

H = ( 0 1 1 0 ) ,

y puedes calcular sus valores propios.

Para una matriz hamiltoniana general de 2x2, la fórmula es

H = ∑ i , j C i , j | i ⟩ ⟨ j | = ( C 1 , 1 C 1 , 2 C 2 , 1 C 2 , 2 )

i y j puede tomar el valor a y b .

La matriz es una matriz de 2x2 porque el hamiltoniano solo contiene dos vectores, a y b .

Cómo expandir un operador hamiltoniano en una matriz se explica muy bien en Wikipedia (primeras cuatro fórmulas de la sección). Si ya está en forma abstracta H = | a ⟩ ⟨ b | + | b ⟩ ⟨ a | , puedes simplemente leerlo: El prefactor de | a ⟩ ⟨ a | ( = 0 ) es la entrada superior izquierda, el prefactor de | a ⟩ ⟨ b | ( = 1 ) es la entrada superior izquierda, etc.

No necesita conocer la forma explícita de la base en la que está escrita la matriz. Recuerde que los valores propios de una matriz son invariantes a las transformaciones unitarias.

wow, es tan impactante para mí que incluso si no conocemos la forma o |a> y |b>, ¿aún podemos escribir la forma matricial de H? ¿Cómo haces eso? ¿Cómo se puede extraer la información de H = | a ⟩ ⟨ b | + | b ⟩ ⟨ a | Entonces, ¿para que el elemento de matriz fuera de la diagonal sea 1? ¿Y cómo sabes que H es 2x2? Lo siento, hay algunos términos que no entiendo de su respuesta, pero supongo que lo que quiere decir es que podemos elegir vectores como base y también podemos elegir otras matrices como base. Entonces, en la última ecuación que muestra, elige la matriz | i ⟩ ⟨ j | como base para expandir H, ¿verdad?
"¿Cómo se puede extraer la información de H = | a ⟩ ⟨ b | + | b ⟩ ⟨ a | para que el elemento de matriz fuera de la diagonal sea 1?": ¿Cuál es el prefactor de | b ⟩ ⟨ a | ? O, más precisamente, ¿qué es ⟨ b | H | a ⟩ si | a ⟩ , | b ⟩ son ortogonales?

Debe comprender la diferencia entre una transformación lineal T y la matriz A que la representa. Las entradas de A dependen de la base específica en la que esté trabajando. Debe recordar del álgebra lineal que para encontrar las columnas de A, aplica T a los vectores base.

Por ejemplo, en tu problema, el hamiltoniano H ^ juega el papel de T, y { | a ⟩ , | b ⟩ } es tu base. si aplicas | a ⟩ a H ^ , usted obtiene

H ^ | a ⟩ = | a ⟩ ⟨ b | a ⟩ + | b ⟩ ⟨ a | a ⟩ = | b ⟩ .

Tenga en cuenta que este cálculo es completamente independiente de las representaciones de los vectores y el hamiltoniano.

Ahora, en relación con nuestra base elegida, debería quedarle claro que el vector | a ⟩ está representado por el par ordenado ( 1 0 ) y | b ⟩ está representado por el par ordenado ( 0 1 ) . En términos de matrices y pares ordenados, la relación H ^ | a ⟩ = | b ⟩ estaría escrito

A ( 1 0 ) = ( 0 1 ) ,
entonces la primera columna de A es ( 0 1 ) . Puede encontrar la segunda columna de A aplicando | b ⟩ a H ^ . Luego, una vez que tenga la matriz, puede encontrar los valores propios y los vectores propios de la forma habitual.

Iba a publicar algo como esto, pero Conrad llegó primero. Para el usuario OP1285419: el problema de valores propios se puede definir para cualquier operador lineal. Por ejemplo, d 2 y d X 2 = k y , la ecuación armónica simple, es un problema de valores propios. (busque Sturm-Liouville). Las soluciones a esa ODE, y , son las funciones propias del operador lineal d 2 d X 2 . Hace d 2 d X 2 tiene una representación matricial? Sí, por ejemplo, elegir una base { 1 , X , X 2 , ⋯ } , se puede escribir una matriz de dimensión infinita para él. ¡pero lo importante es que no tienes que hacerlo!

Las cosas sobre el operador A es solo para que lo sepas | a ⟩ y | b ⟩ son ortogonales (si suponemos a ≠ b ). Esto se sigue de las propiedades de los operadores hermitianos (simplemente evalúe ⟨ a | A | b ⟩ dos maneras diferentes).

Desde | a ⟩ y | b ⟩ son ortogonales, son una buena opción para una base, y podemos escribir la matriz de H en esta base. Es el operador el que cambia | a ⟩ y | b ⟩ (esto es bastante fácil de ver sin la matriz, pero usted pidió la matriz). El cuadrado de este operador es la identidad, por lo que sus valores propios son ± 1 .

gracias marca No entiendo totalmente este pensamiento, sé que es correcto (leí la declaración similar de un libro). Mi pregunta es que incluso si no conocemos la forma explícita de |a> y |b>, ¿podemos saber los valores propios de H? Además, diste que los valores propios son +/-1, entonces, ¿cuál es el vector propio correspondiente? Intento que H se aplique en |a> o |b> pero no me devuelve |a> o |b>, así que sé que no son los vectores propios. Parece que |a>+|b> podrían ser los vectores propios, pero no sé por qué (solo supongo)
¿Qué quiere decir con "la forma explícita de |a> y |b>"? Son vectores en un espacio vectorial. Sabemos que son ortogonales. ¿Qué más quieres de ellos? Los vectores propios son |a> + |b> y |a> - |b>.

Los problemas de valores propios son mucho más generales de lo que se ve en las matrices. Por ejemplo, puede buscar soluciones al problema de valor propio

d d X y = λ y

Resolver λ . La solución es, por supuesto, y = mi λ X y λ puede ser un continuo. Si impone algunas otras condiciones de contorno, puede terminar con un espectro discreto de λ .

Si insiste en una representación matricial, puede usar funciones ortogonales como sus "vectores base" y sus relaciones de ortogonalidad para definir un producto interno. Lea sobre el oscilador armónico cuántico, y los polinomios de Hermite son una base ortogonal para expandir la solución en la que también se resuelve la ecuación diferencial exactamente.

Esta matriz tiene solo 2 estados | a > y | b >

entonces será una matriz de 2x2

con elementos

a 1 , 1 =< a | a >< b | a > + < a | b >< a | a >

a 1 , 2 = a 2 , 1 =< a | a >< b | b > + < a | b >< a | b >

a 2 , 2 =< b | a >< b | b > + < b | b >< a | b >

A partir de esta matriz se pueden evaluar los valores propios

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