¿Las clases adecuadas también pueden tener cardinalidad?

dos conjuntos $A$y$B$tienen la misma cardinalidad si y solo si existe una función biyectiva$f : A \to B$. Si identificamos la función$f$con su gráfico$F = \{ \langle x, y \rangle \in A \times B\, :\, f(x)=y \}$entonces podemos reformular esto para decir que$|A|=|B|$si y solo si hay un conjunto$F$tal que

• $\forall x \forall y \forall y' (\langle x,y \rangle \in F \wedge \langle x, y' \rangle \in F \to y=y')$
• $\forall x \forall y (\langle x,y \rangle \in F \to x \in A \wedge y \in B)$
• $\forall x (x \in A \to \exists! y(\langle x,y \rangle \in F))$
• $\forall y (y \in B \to \exists! x(\langle x,y \rangle \in F))$

Los dos primeros te dicen que$f$es una función bien definida$A \to B$(o, mejor dicho, que$F$es la gráfica de una función bien definida$A \to B$), el tercero te da inyectividad y el cuarto te da sobreyectividad.

Si$A = \{ x:\phi \}$y$B = \{ y:\psi \}$son clases, donde$\phi,\psi$son predicados unarios, entonces$x \in A$realmente solo significa$\phi(x)$y$y \in B$realmente solo significa$\psi(y)$. Entonces, supongo que podría traducir las definiciones anteriores para referirse a clases en lugar de conjuntos. Más precisamente, digamos$|A|=|B|$si y solo si existe un predicado binario$F$tal que

• $\forall x \forall y \forall y' (F(x,y) \wedge F(x,y') \to y=y')$
• $\forall x \forall y (F(x,y) \to \phi(x) \wedge \psi(y))$
• $\forall x (\phi(x) \to \exists! y F(x,y))$
• $\forall y (\psi(y) \to \exists! x F(x,y))$

Nótese que esta noción de clases 'que tienen la misma cardinalidad' coincide con la de conjuntos cuando nos restringimos al caso donde$A$y$B$realmente son conjuntos. Sin embargo, a diferencia de los conjuntos, esto se formula cuantificando sobre fórmulas, por lo que tenemos que trabajar en la metateoría.

También tenga en cuenta que esta es una definición de 'tener la misma cardinalidad', no una definición de 'cardinalidad'; encontrar una buena noción para este último puede ser bastante difícil.

Descargo de responsabilidad: existe la posibilidad de que me digan que esto es un montón de basura. Y de hecho podría ser, ZFC hace cosas raras con las clases. Pero parece una de las posibles extensiones 'naturales' de la noción de biyección de conjuntos a clases arbitrarias.

No hay absolutamente ningún problema en extender la definición de un cardinal a las clases, excepto que no podemos discutir dentro del universo acerca de los cardenales de las clases como lo hacemos con los conjuntos. Cada argumento de la forma "Todas las clases tales que..." sería un meta-argumento. Por supuesto, uno puede usar una teoría de conjuntos más fuerte que permita clases, pero esa es una historia ligeramente diferente.

Además del punto anterior, no es muy difícil demostrar que el teorema de Cantor-Bernstein para las clases (es decir, la existencia de dos inyecciones implica la existencia de una biyección). Y entonces realmente podemos preguntarnos si existe o no una función de clase con tales y tales propiedades (inyectivas, biyectivas, etc.)

Es importante señalar que así como al eliminar el axioma de elección es posible que haya sobreyecciones que no se pueden revertir, sin elección global es posible tener sobreyecciones de clase que no tengan una inyección inversa. Por lo tanto, es importante ceñirse a la definición por inyecciones, porque esa definición funciona sin ningún uso de elección.