¿Por qué un universo de Grothendieck contiene cardinalidades de todos sus elementos?

Question

¿Por qué un universo de Grothendieck contiene cardinalidades de todos sus elementos?

cardenales
teoría de conjuntos
Matemáticas
cardenales grandes

jxt921

Dejar $\mathfrak{U}$ ser un universo de Grothendieck; es decir, un conjunto que satisface las siguientes propiedades:

$\forall x,y,$
$y \in X \in tu \Rightarrow y \in tu;$ $y \in x \in \mathfrak{U} \Rightarrow y \in \mathfrak{U};$
$\forall x,y \in \mathfrak{U}$
${X, y} \in tu;$ $\{x,y\} \in \mathfrak{U};$
$\forall x \in \mathfrak{U},$
$PAG (X) \in tu;$ $\mathcal{P}(x) \in \mathfrak{U};$
$\forall I \in \mathfrak{U}, \forall X \subseteq \mathfrak{U}, \forall f\colon I\to X,$
$⋃_{i \in I} F (i) \in tu;$ $\bigcup_{i \in I} f(i) \in \mathfrak{U};$
$\mathbb{N} \in \mathfrak{U}.$

Lo que necesito saber es por qué si $x \in \mathfrak{U},$ entonces necesariamente $|x| \in \mathfrak{U}$ . En general, no es cierto, por supuesto, que si $x \in \mathfrak{U}$ y si $|y| = |x|$ , entonces $y \in \mathfrak{U}$ .

Otro detalle es que me gustaría evitar usar el hecho de que $\mathfrak{U} = V_\kappa$ por algún cardenal inaccesible $\kappa$ . Por supuesto, si es la única manera razonable, entonces...

DanielWainfleet

¿Cuál es la definición de

N

$\Bbb N$ ¿aquí? Los teóricos de conjuntos a menudo identifican

N

$\Bbb N$ con el ordinal

ω .

$\omega.$ ¿Es esa la definición aquí? (Si es así, puedo dar una respuesta directa).... La definición de un universo de Grpthendieck en Wikipedis no incluye la condición

N \in U .

$\Bbb N \in U.$

jxt921

@DanielWainfleet Por supuesto,

N := ω

$\mathbb{N} := \omega$ . En cuanto a capturar los casos

\emptyset

$\varnothing$ y

ω

$\omega$ en la definición de los universos de Grothendieck, es discutible, pero veo que el propósito principal de un universo de Grothendieck es proporcionar un conjunto que sea un modelo para todos los axiomas de ZFC, en particular, para el axioma del infinito.

\emptyset

$\varnothing$ y

ω

$\omega$ no satisface este axioma.

Respuestas (3)

¿Por qué un universo de Grothendieck contiene cardinalidades de todos sus elementos?

¿Cuál es la definición de $\Bbb N$ ¿aquí? Los teóricos de conjuntos a menudo identifican $\Bbb N$ con el ordinal $\omega.$ ¿Es esa la definición aquí? (Si es así, puedo dar una respuesta directa).... La definición de un universo de Grpthendieck en Wikipedis no incluye la condición $\Bbb N \in U.$
@DanielWainfleet Por supuesto, $\mathbb{N} := \omega$ . En cuanto a capturar los casos $\varnothing$ y $\omega$ en la definición de los universos de Grothendieck, es discutible, pero veo que el propósito principal de un universo de Grothendieck es proporcionar un conjunto que sea un modelo para todos los axiomas de ZFC, en particular, para el axioma del infinito. $\varnothing$ y $\omega$ no satisface este axioma.

DanielWainfleet · Answer 1

Dejar $U$ ser un universo de Grothendieck. $U$ es un conjunto transitivo. Si $y$ es un ordinal entonces $z\in y\in U\implies z\in U.$ Entonces el conjunto $o(U)$ de ordinales en $U$ es un ordinal. $o(U)$ es el menos ordinal no en $U.$

por infinito $x\in U$ dejar $g:x\to |x|$ sea una biyección. Para $y\in x$ dejar $f(y)=g(y)$ si $g(y)<o(U)$ y deja $f(y)=0$ si $g(y)\geq o(U).$ Entonces $\cup_{y\in x}f(y)\in U.$

Si $|x|\geq o(U)$ entonces $o(U)=\cup_{y\in x}f(y)\in U,$ lo cual es absurdo porque $o(U)\not \in U.$ Por lo tanto $|x|<o(U),$ eso es, $|x|\in o(U)\subset U.$

Por supuesto para un finito $x\in U$ tenemos $|x|\in \Bbb N\subset o(U)\subset U.$

$Remarks.$ También podemos ver que $o(U)$ es fuertemente inaccesible: Si $cf(o(U))<o(U)$ entonces $cf(o(U))\in U$ pero luego hay $f:cf(o(U))\to o(U)\subset U$ con $o(U)=\cup_{x\in o(U)}f(x)\in U,$ lo cual es absurdo. Entonces $o(U)$ debe ser regular. Y si $y< o(U)$ entonces (usando el resultado de tu Q), $y\in U$ entonces $P(y)\in U$ entonces $2^y=|P(y)|\in U$ entonces $2^y <o(U)$ . Entonces $o(U)$ es un límite fuerte.

Estimado Daniel, ¿podría explicar por qué tenemos $o(U) = \bigcup_{y \in x} f(y)$ cuando $|X| \geq o(U)$ ? Es obvio que $\bigcup_{y \in x} f(y) \subseteq o(U)$ , pero no estoy seguro de lo contrario.
Si $|x|\geq o(U$ ) entonces $| x|\supset o(U) .$ Y $g:x\to |x|$ es una sobreyección entonces $\{g(y): y\in x\}\supset o(U).$ ..... Entonces $\cup (\;\{f(y):y\in x\}\;)=$ $\cup (\{g(y):y\in x\}\cap o(U)\;)=$ $\;\cup (\;|x|\cap o(U)\;)=$ $\cup o(U)= o(U).$ ...... POR CIERTO $o(U)$ no puede ser un sucesor ordinal (...entonces $\cup o(U)=o(U)$ ...) porque si $y\in o(U)$ entonces $\{y\}\in U,$ Entonces deja $h(0)=y$ y $h(1)=\{y\}.$ Entonces $y+1=y\cup \{y\}=\cup \{h(0),h(1)\}\in U .$

Daniel Schepler · Answer 2

Arreglar un buen ordenamiento del conjunto. $X$ . Luego, por inducción sobre este buen orden, para cada $x \in X$ , el ordinal $\operatorname{rank}(x)$ correspondiente a $\{ y \in X : y < x \}$ es en $\mathfrak{U}$ . En efecto, $\operatorname{rank}(x) = \bigcup_{y < x} (\operatorname{rank}(y) \cup \{ \operatorname{rank}(y) \})$ . Ahora, el ordinal correspondiente al tipo de orden de $X$ es $\operatorname{OT}(X) = \bigcup_{x \in X} (\operatorname{rank}(x) \cup \{ \operatorname{rank}(x) \}) \in \mathfrak{U}$ también.

ahora bien $|X| \in \operatorname{OT}(X)$ , o $|X| = \operatorname{OT}(X)$ , y en ambos casos podemos concluir $|X| \in \mathfrak{U}$ .

pseudocidonia · Answer 3

(Quizás esta no sea la forma más limpia de hacerlo, mi aritmética cardinal está un poco oxidada).

Puede utilizar la unión indexada. Desde $\mathbb{N}$ está en el universo (que identificamos con el cardenal $\aleph_0$ ), tomar cualquiera $I$ en el universo, y definir la función $f(i)=\aleph_0 \times \{i\}$ . (Aquí explotamos el hecho de que si $i\in I$ entonces $i$ también debe estar en el universo.) Así

⋃_{i \in I} ℵ_{0} \times {i} := \sum_{i \in I} ℵ_{0} = máximo {| I |, ℵ_{0}} \in tu .

$\bigcup_{i\in I}\aleph_0 \times \{i\}:= \sum_{i \in I} \aleph_0 = \max\{|I|,\aleph_0\} \in \mathfrak{U}.$

Supongo que para que esto funcione, también debe demostrar que los universos de Grothendieck están cerrados bajo el producto cartesiano, que es un ejercicio bastante fácil.

(Editar: todos los cardenales menos de $\aleph_0$ ya están en el universo, por el axioma que cierra el universo bajo contención establecida.)

Como está escrito, esto no es cierto. Solo has demostrado que hay algún conjunto de cardinalidad $I$ en $\mathfrak{U}$ - no es que la cardinalidad de $I$ sí mismo (que es el único ordinal inicial en biyección a $I$ ) es en $\mathfrak U$ . Para hacer eso, supongo que lo más fácil es probar que $\mathfrak U = V_{\kappa}$ dónde $\kappa = \operatorname{card}(\mathfrak{U})$ es inaccesible

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