Sin axioma de elección, ¿qué tan grande puede ser el producto de una familia?

Con AC tenemos el teorema de König que dice que para dos familias de cardenales k i y λ i , si por todo i , k i < λ i , entonces ∑ i ∈ I k i < ∏ i ∈ I λ i .

sin aire acondicionado, ∏ i ∈ I λ i podría estar vacío. Pero, ¿puede su cardinalidad ser algo entre 0 y ∑ i ∈ I k i ?

Respuestas (1)

Esto requiere alguna aclaración adicional.

En principio, cuando hablamos de sumas y productos de cardenales, queremos decir que estos no dependen de la elección de los conjuntos que ponemos en la suma y productos. Pero sin el axioma de elección es muy posible que las infinitas sumas y productos de los cardinales no estén bien definidos para empezar.

Podemos superar esto diciendo que, en última instancia, el teorema de König se trata de ordinales, por lo que estamos hablando de la suma y los productos de estos ordinales específicos, y luego las cardinalidades de esas sumas y productos.

Como tales, las sumas siempre están bien ordenadas, al menos suponiendo que el conjunto de índices esté bien ordenado. Los productos, por otro lado, no necesitan estar bien ordenados. Por ejemplo, si R no puede estar bien ordenado, entonces los únicos productos infinitos de ordinales que pueden estar bien ordenados son aquellos donde 0 aparece, o donde co-finitamente muchos de los ordinales son 1 .

Aun así, podemos demostrar fácilmente que si el ∏ λ i puede estar bien ordenado, entonces ciertamente es estrictamente mayor que la suma ∑ k i , bajo el supuesto de que k i < λ i , por supuesto. La razón es simple: el buen orden te da todas las opciones que necesitabas para la prueba del teorema de König.

Tenga en cuenta que si simplemente requiere que k i son ordinales y que k i < λ i , podemos tener una situación extraña, con λ i = k i + 1 , I = ω , y ∑ k i = ℵ 1 , ∏ λ i = 2 ℵ 0 , ¡pero los dos cardenales son incomparables en ese caso!

Por supuesto, en este caso tampoco k i ni λ i es un cardenal, por lo que esto realmente está estirando las definiciones.

Me di cuenta de que en mi libro de texto, el teorema de König está formulado de la siguiente manera: Sea ( X i : i ∈ I ) y ( Y i : i ∈ I ) ser dos familias de conjuntos y suponer que para cada i ∈ I , C a r d ( X i ) < C a r d ( Y i ) , entonces ∑ i ∈ I X i < ∏ i ∈ I Y i . Ahora ∏ i ∈ I Y i siempre está bien definido. Sin AC, ¿qué podemos decir sobre su cardinalidad?
En el último ejemplo, con ordinal es k i ?
Absolutamente nada.
Puede ser que cada uno X i es un conjunto de tamaño 2, y cada Y i es un conjunto de tamaño tres y, sin embargo, la suma y el producto son incomparables.
si cada uno Y i es un conjunto de tamaño tres, entonces al menos podríamos decir que si el producto no está vacío, entonces tiene al menos la cardinalidad de I ¿No?
si cada uno X i es de tamaño 2 , y I = w , es la suma de X i aún w ?
Suponer que PAG i para i ∈ I = ω es una familia de pares tal que ninguna subfamilia infinita admite una función de elección. Considerar Y i = PAG i ∪ { i } . Ahora ∏ Y i no está vacío. Pero todas las funciones de elección son cofinitamente iguales a F ( i ) = i . Entonces, si el producto tiene un subconjunto numerable infinito, podemos usarlo para definir una función de elección de infinitos PAG i s. Por lo tanto, no, el producto no necesita ser mayor que el conjunto de índices.
No, en mi ejemplo anterior es a lo que me refería. Cada PAG i tiene tamaño 2 , y I es ω . Pero la unión es Dedekind-finita, por lo que en particular no contiene un subconjunto numerable infinito.
No se si entendí bien. ¿Quieres decir que la unión de ω conjuntos de tamaño dos no es ω ?
No es necesariamente contable. No. Debe elegir para cada par cuál es el primero y cuál es el segundo. Eso requiere elección.
cuando dices eso ∑ k i = ℵ 1 , cuáles son k i ?
Sin axioma de elección, ¿qué tan grande puede ser el producto de una familia?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v