¿Hay aritmética cardinal no equivalente?

‎Generalizar un concepto en matemáticas es siempre una situación problemática. En la mayoría de los casos hay varias formas de generalizar una noción y no es fácil decidir si una generalización en particular es más natural , útil o mejor que las otras alternativas.

La misma situación ocurre en la teoría de conjuntos cuando intentamos generalizar los operadores aritméticos a infinitos. El caso de la aritmética ordinal es menos controvertido porque tiene una definición recursiva directa aplicable a todos los operadores habituales e hiperoperadores. Pero en el caso de la aritmética cardinal, hemos definido todos los casos de suma, multiplicación y exponenciación por separado de la siguiente manera:

• $\kappa+\lambda$es el tamaño de la unión disjunta de dos conjuntos con$\kappa$y$\lambda$elementos _

• $\kappa.\lambda$es el tamaño del producto cartesiano de dos conjuntos con$\kappa$y$\lambda$elementos _

• $\kappa^\lambda$es el tamaño del conjunto de todas las funciones de un conjunto con$\lambda$elementos a un conjunto con$\kappa$elementos.

En cada caso aislamos una propiedad combinatoria y definimos nuestro operador aritmético como el tamaño de un conjunto definible a partir de parámetros$\kappa$y$\lambda$. Como está claro, este método de generalización de operadores podría realizarse de muchas maneras diferentes y algunas de ellas podrían no ser equivalentes . Por ejemplo en combinatoria finita$m+n$podría ser el tamaño de muchos conjuntos definibles diferentes en lugar de una unión disjunta y estas nociones definibles podrían ser diferentes en cardinales infinitos.

Tenga en cuenta que de acuerdo con la definición habitual de nuestra aritmética cardinal que se mantuvo sin cambios desde el comienzo de la teoría de conjuntos, los dos primeros operadores (suma y multiplicación) se volvieron contra intuitivamente iguales y tan triviales como el operador máximo. También están completamente determinados dentro de ZFC. Por otro lado, el tercer operador (exponenciación) se volvió altamente no trivial y completamente indeterminado incluso en el caso más simple. es decir, ZFC no puede decidir sobre el valor de$\aleph_0^{\aleph_0}$.

¿Por qué existe una brecha tan grande entre la exponenciación cardinal y la suma y multiplicación cardinal? ¿Por qué la suma y la multiplicación son contra intuitivamente iguales? ¿Hay mejores aritméticas sobre números cardinales que tengan un comportamiento más natural , una teoría rica y una conexión profunda entre sí?

Exploremos las preguntas anteriores con mayor precisión al considerar todas las definiciones posibles para operadores aritméticos sobre cardinales.

Definición 1: Dejar$*:\omega\times\omega\rightarrow\omega$sea ​​un operador aritmético (es decir, suma ordinaria, multiplicación, exponenciación, tetración, ... sobre números naturales), la fórmula de primer orden$\phi (x,y,z)$en el lenguaje de la teoría de conjuntos se llama$*$- noción sobre cardinales (por ejemplo, noción de suma sobre cardinales, noción de multiplicación sobre cardinales, etc.) si y solo si

$(a)~~ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$es un conjunto.

$(b)~~ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m*n$

Asociado con cualquier$*$- noción$\phi (x,y,z)$sobre cardenales se puede definir un operador$*_{\phi}:Card\times Card\rightarrow Card$como sigue:

$\forall\kappa,\lambda\in Card~~~~~\kappa *_{\phi}\lambda :=|\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}|$

Tenga en cuenta que por propiedad$(a)$, el operador$*_{\phi}$está bien definido. También por propiedad$(b)$es una generalización del operador aritmético$*$a infinitos cardenales.

Ejemplo: Si$+:\omega\times\omega\rightarrow\omega$es la suma ordinaria de números naturales entonces la fórmula de primer orden$\phi (x,y,z):\exists s\in y~\exists t\in z~~~x=\langle s,0 \rangle \vee x=\langle t,1\rangle$afirmando que "$x$es miembro de un sindicato disjunto$y$y$z$" es un$+$- noción sobre cardenales y el operador correspondiente$+_{\phi}:Card\times Card\rightarrow Card$es la adición habitual de los cardenales.

Definición 2: Si$*:\omega\times\omega\rightarrow\omega$es un operador aritmético y$\phi (x,y,z), \psi (x,y,z)$son dos$*$- nociones sobre cardenales, llamamos$\phi, \psi$ equivalente _$\phi \sim \psi$, si y solo si sus aritméticas cardinales correspondientes son las mismas. es decir

$$ZFC\vdash \forall\kappa,\lambda\in Card~~~~~\kappa *_{\phi}\lambda = \kappa *_{\psi}\lambda$$

Pregunta 1: ¿Existe alguna noción de adición para cardenales que no sea equivalente a la noción habitual de adición de cardenales? En caso afirmativo, ¿cuántas de tales nociones de suma hay hasta$\sim$¿relación de equivalencia? En otras palabras, ¿hay alguna fórmula$\phi (x,y,z)$tal que:

$ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$es un conjunto

$ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m+n$

$ZFC\nvdash \forall\kappa,\lambda\in Card~~~~~\kappa *_{\phi}\lambda = \kappa +\lambda$

¿Qué pasa con la multiplicación y la exponenciación? En particular, ¿existe una noción de exponenciación sobre cardenales que su valor en el caso más simple,$\aleph_0$, permanece indeterminado incluso si tenemos un conocimiento completo de los valores de la exponenciación cardinal habitual al suponer GCH? Precisamente, ¿existe alguna fórmula$\phi (x,y,z)$en el lenguaje de la teoría de conjuntos tal que:

$ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$es un conjunto

$ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m^n$

$ZFC+GCH\nvdash \aleph_0 *_{\phi} \aleph_0=\aleph_0^{\aleph_0}$(equivalentemente$ZFC+GCH\nvdash | \{x~|~\phi (x,\aleph_0,\aleph_0)\} |=\aleph_1$)

Además del buen comportamiento de cada operador aritmético particular sobre los cardinales, es importante considerar la situación relativa de estos operadores entre sí. De hecho, deberíamos buscar una secuencia de generalizaciones para la suma, la multiplicación, la exponenciación, ... en cardinales que satisfaga algunas propiedades agradables.

Definición 3: Dejar$\{*^i\}_{i\in \omega}$sea ​​la enumeración natural de todos los operadores aritméticos sobre números naturales (es decir,$*^0$,$*^1$,$*^2$,$*^3$son suma, multiplicación, exponenciación y tetración respectivamente.) y$\{\phi_{i}(x,y,z)\}_{i\in\omega}$es una secuencia de fórmulas tal que$\forall i\in\omega~~~\phi_{i}(x,y,z)$es un$*^i$- noción. Ahora considere la secuencia$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$de nociones aritméticas sobre cardinales.

• Llamamos a la secuencia$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$ sí natural

$$\forall i\in\omega~\forall\kappa,\lambda\in Card\setminus\{0,1\}~~~~~\kappa *^{i}_{\phi_{i}}\lambda >\kappa, \lambda$$

Por ejemplo, cada secuencia de aritmética cardinal que contiene la adición (o multiplicación) habitual de cardinales infinitos no es natural porque para todos los cardinales infinitos$\kappa, \lambda$tenemos$\kappa +\lambda = \kappa$o$\kappa +\lambda = \kappa$.

• dos secuencias$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$y$\{*^{i}_{\psi_{i}}\}_{i\in\omega}$son equivalentes,$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}\sim\{*^{i}_{\psi_{i}}\}_{i\in\omega}$, si $$\forall i\in\omega~~~~~\phi_i\sim\psi_i$$

Pregunta 2: ¿Cuántas sucesiones naturales de aritmética cardinal hay hasta la relación de equivalencia definida en la definición 3?

Pregunta 3: ¿Qué otras propiedades podemos agregar a " ser natural " para obtener una secuencia única de aritmética cardinal hasta la equivalencia? ¿Podría una secuencia tan única con buenas propiedades ser nuestra aritmética cardinal estándar ?