Función regresiva en cardinal singular con preimagen acotada para cada punto

La siguiente afirmación se considera obvia en la teoría básica de conjuntos de Levy:

Si$\kappa$es un cardinal singular, entonces hay una función regresiva$f:\kappa\to \text{cf}(\kappa)$, tal que para todos$\gamma<\text{cf}(\kappa)$, la preimagen$f^{-1}"\{\gamma\}$está delimitado por debajo$\kappa$.

No veo por qué se sostiene esta afirmación. Lo intuitivo para probar primero es tomar una secuencia cofinal$(\alpha_i\mid i<\text{cf}(\kappa))$en$\kappa$con tipo de pedido$\text{cf}(\kappa)$, y piensa en esta secuencia como rompiendo$\kappa$en intervalos. Así que mapearíamos cada$x$en el intervalo$(\alpha_i, \alpha_{i+1}]$a$\alpha_i$. Pero esto no funciona, porque no está claro dónde$\alpha_\lambda$se asignarán a sí mismos, para cualquier límite ordinal$\lambda$. Enumerar los puntos límite en$(\alpha_i\mid i<\text{cf}(\kappa))$y probar un mapa similar tampoco parece ayudar, porque tendremos que preocuparnos por los límites de los límites, y así sucesivamente.

(Editar: como puede ver, me estaba confundiendo completamente arriba. Estaba tratando de asignar cosas a los elementos en la secuencia cofinal, en lugar de sus índices. Como resultado, el mapa que estaba tratando de definir tiene un rango muy por encima$\text{cf}(\kappa)$!)

Así que estoy un poco perdido ahora. ¿Necesitamos usar el lema de Fodor de alguna manera?