Definición de cardinalidad en ausencia de elección

La idea detrás del truco de Scott de convertir las clases de equivalencia en conjuntos bastante complicados es simplemente permitir trabajar con facilidad con el orden parcial de cardinalidades dentro de la teoría.

En presencia de AC, siempre podemos elegir un ejemplo canónico para cada cardinalidad, a saber, el ordinal inicial de la clase de equivalencia.

Es consistente con ZF que no existe elección de representantes canónicos. Es decir, no hay una función de clase definible$C$tal que para todos$X\in V$:

1. $C(X)=C(Y)\iff |X|=|Y|$;
2. $|C(X)|=|X|$

este tipo de$C$existe naturalmente con el axioma de elección, como he mencionado anteriormente. Parece que de alguna manera damos por sentada esta existencia.

Con o sin el axioma de elección podemos considerar$|X|$como en el truco de Scott, es decir, tomar los conjuntos equipolentes del menor rango posible. Sin embargo, con el axioma de elección podemos establecer$C(X)=\min\{a\in Ord\mid |X|=|a|\}$, y solo asume$|X|=C(X)$.

El punto es que sin el axioma de elección simplemente no podemos tener este lujo, y nos vemos reducidos a manejar estos complicados conjuntos de cardinalidades. Esta es solo una razón más por la cual la aritmética cardinal se vuelve tan pesada cuando se deja atrás el axioma de elección.

Cuando los representantes canónicos no están garantizados, el uso del truco de Scott se vuelve esencial al escribir teoremas sobre cardinalidades.

Suponer$A$es amorfo (es decir$B\subseteq A$implica$B$es finito o$A\setminus B$es finito).

quiero describir$(\{|Y|\colon Y\subseteq A\},<)$. Usando el truco de Scott, esto se hace fácilmente, ya que$Y\mapsto |Y|$es una función definible, el dominio de este conjunto parcialmente ordenado se puede definir muy bien a partir de$A$.

Sin embargo, al usar el primer enfoque, me pregunto cuál es el dominio de las cardinalidades de los subconjuntos de$A$? En este enfoque$|A|$es un objeto sintáctico, no semántico.

Puedo describir que este es un conjunto ordenado linealmente (es decir, cada dos subconjuntos de$A$tienen cardinalidades comparables), pero ¿puedo probar que este conjunto es exactamente$\omega+\omega^*$? (es decir, un orden lineal en el que cada punto tiene un número finito de puntos arriba o un número finito de puntos abajo, pero no ambos) No, no puedo.

Esto es porque$B_X=\{|B|\colon |B|<|X|\}$no puede describirse uniformemente dentro del modelo, por lo que no podemos describir su tamaño de manera uniforme (es decir, como una función$X\mapsto |B_X|$).

Como comentó Andrés sobre la pregunta principal, en muchos casos no es un gran problema. Esta es la razón principal por la que este "ejemplo" parece un poco artificial. Sin embargo, ayuda cuando tiene una buena manera de definir cardinalidades en los momentos en que realmente lo necesita.

Debo mencionar que los ordinales siempre están bien ordenados y, por lo tanto, de una$\aleph$-Número tipo de cardinalidad, y tales$C$se puede definir para la clase de conjuntos bien ordenables. La cosa es que sin el axioma de elección tendemos a tener conjuntos que no pueden ser biyectados con ordinales con ausencia de elección.

Para más información: T. Jech, El Axioma de Elección Cap. 11

Nota agregada: el truco de Scott hace un uso intensivo del axioma de regularidad (también: axioma de fundamento), y no conozco una forma clara de definir cardinalidades con la falta de regularidad y elección (o incluso con solo el primero ausente).

Otra nota importante es que el truco de Scott no solo es útil para definir cardinalidades cuando falta elección, sino también para definir cualquier otra relación equivalente sobre clases. Cosas como los ultraproductos del universo, por ejemplo, dependen en gran medida de esta construcción.

Permítanme objetar la afirmación en la pregunta de que "obtenemos cardenales muy poco naturales" cuando usamos el truco de Scott. Creo que el truco de Scott nos acerca más que la definición de "ordinal inicial" a la noción más natural de cardenal, a saber, la noción de Frege. La idea de Frege era que las abstracciones como la cardinalidad (donde hacemos abstracción de los elementos particulares de un conjunto y nos preocupamos solo de cuántos hay) deberían estar dadas por clases de equivalencia. Entonces, para Frege, el número$3$es la colección de todos$3$-conjuntos de elementos. [Tenga en cuenta que esto no es circular; uno puede definir "$3$-conjunto de elementos" sin presuponer este número$3$.] Esta es la entidad matemática más simple que es común a todos$3$-conjuntos de elementos. El enfoque de Frege tiene problemas en las teorías de conjuntos usuales (como ZF) porque la colección de todos$3$-Los conjuntos de elementos no son un conjunto sino una clase propia. El truco de Scott pretende ser un ajuste mínimo de la noción de Frege para producir un decorado. (En algunas otras teorías de conjuntos, como New Foundations, los cardinales en el sentido de Frege son conjuntos, y creo que esta es la definición preferida de números cardinales en tales teorías). Observe también que el enfoque de Frege, complementado por el truco de Scott, se puede aplicar a cualquier equivalencia "relación" en el universo de conjuntos, no sólo a la relación de ser en correspondencia uno a uno. (Las comillas alrededor de "relación" se deben a que sería una clase adecuada de pares ordenados en lugar de un conjunto).

Como se señaló en la respuesta de Andreas Blass, los cardinales de Scott no son tan antinaturales (y un número ordinal grande también es un objeto complicado). Incluso con el axioma de elección, la definición ordinal inicial hace que la aritmética cardinal y ordinal sea confusa. Por ejemplo,$2^\omega = \omega < \omega^2$, pero$2^{\aleph_0} > \aleph_0 = \aleph_0^2$. Por lo tanto, existe una ventaja al garantizar que los cardinales transfinitos no sean números ordinales.

La pregunta sí señala un problema serio con los cardenales de Scott: su$0$es el número ordinal$1$, lo cual es confuso. Dado que los ordinales finitos y los cardinales finitos tienen la misma aritmética, propongo que (con o sin AC) apliquemos el truco de Scott a los conjuntos transfinitos y definamos el número cardinal de un conjunto finito (es decir, Dedekind finito y bien ordenable) como el ordinal apropiado número.