Cardenales débilmente inaccesibles y descubrimiento de la teoría moderna de conjuntos

Así que he estado tratando de aprender algo de teoría de conjuntos y me he encontrado con algunos ejercicios en Discovering Modern Set Theory de Just and Weese. A ápice:

pág. 180

Definición 20: Un cardenal k se llama débilmente inaccesible si k es un cardinal límite regular incontable.

Ejercicio 27 (PG): Demostrar que si α es un cardenal débilmente inaccesible, entonces α = ℵ α .

Ejercicio 28 (R): Demuestra que el ordinal más pequeño α tal que α = ℵ α no es un cardenal débilmente inaccesible.

Finaliza

Por primera vez he probado por inducción que α ⊆ ℵ α para todos los ordinales α , obviamente tengo que usar la parte débilmente inaccesible para ir hacia el otro lado, pero no tengo idea de por dónde empezar. Débilmente inaccesible da que cada función con rango cofinal en α tiene dominio al menos α pero eso es decir que las cosas son grandes, donde como necesito eso ℵ α es pequeño.

El segundo está más allá de mí, consideré intentar demostrar que ZFC prueba la existencia de tal ordinal α , y luego apelar al hecho de que la existencia de un cardenal débilmente inaccesible es independiente de ZFC, sin embargo, este resultado aún no se ha obtenido en el texto, por lo que imagino que esto no puede ser lo que se desea.

¿Pensamientos?

Respuestas (2)

El segundo es más fácil, simplemente defina por recursividad. λ 0 = m , λ norte + 1 = ℵ λ norte , para norte ∈ ω ( m es cualquier cardenal). Luego calcula cual es λ ω = sorber { λ norte ∣ norte ∈ ω } .

El primero tampoco es mucho más difícil. Porque ℵ α es límite, α es un ordinal límite. Elija una secuencia cofinal en α , ⟨ d i ∣ i < cf ⁡ ( α ) ⟩ . Considere la secuencia ℵ d i . ¿Cuál es su límite? ¿Qué puedes concluir sobre cf ⁡ ( α ) de la suposición de que ℵ α es normal tambien?

Gracias, supongo que tienes dudas sobre el sistema de clasificación de dificultad si crees que el segundo es más fácil.
Soy; pero también el segundo es solo un truco. Y una vez que consigues ese truco, es muy fácil de resolver; pero el primero no se basa en trucos. Es solo verificar las definiciones y eso puede ser un dolor en el área de la parte trasera que conecta los muslos con la parte inferior de la espalda.
Claramente λ ω tiene λ ω = ℵ λ ω , pero creo que la calificación 'R' proviene del hecho de que no es inmediatamente obvio que sea el cardenal más pequeño de esa forma, o incluso que no haya un cardenal inaccesible más pequeño que él. (Es bastante sencillo, pero aún requiere un poco más de discusión, creo).
Me gusta un poco el truco, se siente como aproximarse a lo que quieres y tomar el límite, que supongo que es precisamente lo que estás haciendo.
@James: No es exactamente ese truco, este es el truco que usamos en muchas otras áreas (por ejemplo, forzar). Sin embargo, no puedo describir este truco con buenas palabras. Tal vez solo se está haciendo tarde...
O tal vez el hecho de que decimos a extiende b si a < b te ha hecho crujir. Esto es básicamente todo lo que sé sobre forzar...
@James: Veo que estás apoyando la convención de Jerusalén, incluso antes de comprender la idea misma de forzar. Bueno, si uno usa álgebras booleanas para forzar, entonces extender hacia abajo es una idea muy razonable.
Pues yo prefiero hacer mis juicios de valor en un estado de ignorancia. Aunque creo que entiendo la idea de forzar, tienes un orden parcial y lo usas para agregar genéricos y mágicamente eso rompe CH o lo que sea. ¿Ven? Comprensión total.

Para el ejercicio 28 dejar α 0 = 0 . Dado α norte , dejar α norte + 1 = ℵ α norte . Entonces

α = sorber norte ∈ ω α norte = sorber norte ∈ ω α norte + 1 = sorber norte ∈ ω ℵ α norte = ℵ α ,

pero cf ⁡ α = ω < α . No es difícil ver que esto α es el ordinal más pequeño que satisface α = ℵ α .

Añadido: para ejercicio 27 eso ya lo demostraste α ≤ ℵ α . Si α < ℵ α , entonces α = ℵ β para algunos β < α , entonces cf ⁡ α ≤ β < α , contradiciendo la regularidad de α .

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