Ordenación correcta de conjuntos de números cardinales

Proposición Para todo número cardinal metro hay un próximo número cardinal más grande definido.

Esta proposición se demuestra en la página 136 de "Pruebas del libro" usando el hecho de que cualquier conjunto de números ordinales está bien ordenado. Sin embargo, este último hecho se presenta sin pruebas.

El razonamiento me parece un poco extraño porque parece que estamos demostrando el buen orden de cualquier conjunto de números cardinales por medio de la misma propiedad para conjuntos de números ordinales. (Y tengo la sensación de que la prueba de los ordinales debería ser aún más difícil que la de los cardenales, ¡pero debo estar equivocado!)

No tengo experiencia en teoría o lógica de conjuntos, pero esperaba que alguien pudiera dirigirme a una referencia "no técnica" o quizás compartir algunas ideas sobre esto. ¡Gracias!

Los ordinales están bien ordenados esencialmente por definición. El contenido real aquí es la afirmación de que puedes representar todas las cardinalidades usando ordinales.
@EricWofsey Para ser justos, depende de la definición que uses. Si "ordinal" significa "conjunto hereditariamente transitivo", entonces definitivamente no es solo por definición.

Respuestas (1)

Recomendaría uno de dos libros para que aprenda sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos,

Pruebas y fundamentos por Ethan D. Bloch
Topología por James B. Munkres

En este contexto, los números naturales son 0 , 1 , 2 , … . En cualquier caso, su segundo párrafo es muy conjetural y no esclarecedor: OP no dijo nada sobre ω (los números naturales); la afirmación es válida para cualquier cardenal. La prueba habitual usa el número de Hartogs del cardenal y no usa la elección.
Gracias por las sugerencias de libros, William. Solo quería enfatizar que mi pregunta no se trata de escribir pruebas en matemáticas, sino de algo bastante específico sobre los números ordinales y cardinales. (¡Eché un vistazo al primer libro y no cubre los números ordinales en absoluto!)
La base de la redacción de pruebas en matemáticas es una sólida comprensión de la teoría de conjuntos. El libro se llama "pruebas y fundamentos", pero cubre los fundamentos de la teoría de conjuntos. Munkres es un tratamiento más avanzado. Le sugiero que lea estos dos libros para obtener una base sólida sobre cómo manipular funciones, conjuntos y relaciones. Entonces podrá escribir una buena prueba usted mismo.
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