cardinalidad de todas las sucesiones reales

Identificar$\mathbb R$como el conjunto de funciones$f : \mathbb N \to \{ 0,1\}$.

Entonces cualquier secuencia$\{ x_n \}$se convierte en una secuencia$\{f_n \}_n$dónde$f_n : \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Pero entonces, esto es simplemente una función$g : \mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$:

De esta manera puedes construir una biyección de las sucesiones de números reales al conjunto de funciones de$\mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Ahora, desde$\mathbb N \times \mathbb N$y$\mathbb N$tienen la misma cardinalidad, obtienes una biyección de las secuencias de números reales al conjunto de funciones de$\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{ 0,1\}$, que es solo$\mathbb R$.

Usted solicitó una explicación en "términos simples" de por qué sucede esto, lo que entiendo como una explicación intuitiva en lugar de una prueba formal, así que eso es lo que daré.

Centrarse en los números entre$0$y$1$. Tal número está determinado por una cantidad contable de información, a saber, los dígitos en su expansión decimal. Entonces, una secuencia de números entre$0$y$1$está determinada por una cantidad contable de información contable. Pero la unión contable de conjuntos contables es contable, por lo que esta cantidad contable de información contable puede a su vez expresarse mediante una cantidad contable de información, es decir, un número contable de dígitos. Esto se puede usar para definir un solo número real entre$0$y$1$que codifica la secuencia original.

Esta idea se puede utilizar para dar una prueba formal. En cuanto a tu pregunta sobre funciones, ¿qué sabes sobre el conjunto de funciones de$\mathbb R$a$\{0,1\}$?

Depende de si estás hablando de secuencias finitas, secuencias infinitas o "secuencias incontables". Aquí hay un intento de darle un poco de intuición para el territorio matemático:

Si estás hablando del conjunto de todas las sucesiones reales finitas, entonces tenemos el siguiente argumento: para cualquier$n$, la cardinalidad de$\mathbb{R}^n$es igual a la cardinalidad de$\mathbb{R}$(que llamaré$c$por conveniencia). Así, el conjunto de sucesiones finitas de una longitud dada es un conjunto de cardinalidad$c$. La cardinalidad de la unión arbitraria de conjuntos de cardinalidad$c$te da otro conjunto de cardinalidad$c$. Así, el conjunto de todas las sucesiones finitas es de cardinalidad$c$. El mismo argumento se puede hacer con respecto a$\mathbb{Q}$(que tiene cardinalidad$\aleph_0$)

La cardinalidad de secuencias infinitas es, sin embargo, una historia diferente. El argumento de Cantor nos dice que para cualquier conjunto$S$, tenemos$\left| \wp(S) \right|>\left| S \right|$. Para cada subconjunto de los números racionales, hay una secuencia correspondiente en$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$. Los números reales, por otro lado, son incontables, por lo que ninguna secuencia infinita contendrá todos los elementos. Entonces, como termina,$\left| \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \right| =\left| \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \right|= c$

Finalmente, tenemos las "sucesiones incontables", es decir, el conjunto de funciones de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$, que sí tiene una mayor cardinalidad. Aquí, podemos usar el argumento anterior de la siguiente manera: para cualquier subconjunto$S \subseteq \mathbb{R}$, podemos mapear$S$a una función$f(x)$para cual$f(x)=0$para cualquier$x\in S$. Esto nos da un mapa inyectivo de$\wp(\mathbb{R})$al conjunto de funciones de$\mathbb{R}$a sí mismo. Así, la cardinalidad del conjunto de funciones de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$es mayor que$c$.

Un poco de aritmética cardinal para tener en tu arsenal: para conjuntos transfinitos$P$y$Q$:

Dejar$k,m$ser infinitos cardenales. Entonces

Aquí he usado el axioma de elección en la segunda igualdad. El$\max$ahí provoca la monotonicidad no estricta que te sorprendió.

En términos simples, nuestra intuición del sentido numérico proviene de tratar con conjuntos finitos y tiene muy poco valor cuando se trata de conjuntos infinitos. Esta es la razón por la cual un conjunto puede tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio y por qué$B^\mathbb{N}$puede tener la misma cardinalidad que$A^\mathbb{N}$incluso si uno es un subconjunto propio del otro.