El número de subconjuntos de cardinalidad menor que κκ\kappa de un cardinal κκ\kappa es κκ\kappa

Dejar L = ⋃ α ∈ O r d L α ser el universo construible de Godel y por lo tanto L ⊨ GRAMO C H . Dejar k ser un cardenal infinito y S := { A ⊆ k : # A < k } . ¿Es cierto que L ⊨ # S = k ? ( # S ≥ k trivialmente.)

Mi razonamiento: Suponiendo V = L , tenemos A ∈ L k ⟺ A delimitado en k (es decir ∃ β < k . A ⊆ β ). Si A ⊆ k , # A < k y la cofinalidad C F ( k ) = k , entonces A necesita ser acotado. Por eso A ∈ L k , pero # L k = k y entonces # S = k cuando k es un cardenal regular.

Si k = ℵ 1 entonces ciertamente # S ≥ 2 ℵ 0 , que puede ser > k .
El verdadero comentario anterior se relaciona con la pregunta original en la que no incluí la suposición de GRAMO C H .

Respuestas (2)

Esto no es cierto, incluso suponiendo GRAMO C H , a menos que añadamos también que k es regular _

Si k es regular (y asumiendo GRAMO C H por supuesto), tenemos eso 2 < k = k , y luego por este argumento se sigue el resultado.

Si k es singular, por ejemplo cf ⁡ ( k ) = λ < k , entonces hay k λ subconjuntos de tamaño λ , pero el teorema de Koenig nos dice que k < k λ .

No necesariamente. Dejar k ser un sucesor y λ ser el cardenal que precede k . k tiene un subconjunto de tamaño λ , que tiene 2 λ subconjuntos de tamaño < k . Sabemos que es consistente que 2 λ > k

Olvidé mencionar que trabajo en el construible de Godel. L y por lo tanto 2 λ = λ + = k .
El número de subconjuntos de cardinalidad menor que κκ\kappa de un cardinal κκ\kappa es κκ\kappa
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