Aritmética cardinal versus aritmética ordinal

La razón es que las definiciones de aritmética ordinal y aritmética cardinal son muy diferentes.

Mientras que las operaciones aritméticas ordinales se ocupan de tipos de órdenes, las aritméticas cardinales se ocupan de ciertos conjuntos.

Por ejemplo,$\alpha+\beta$como ordinales es el tipo de orden de$\alpha$concatenado con$\beta$. Mientras que la cardinalidad desnuda cualquier estructura posible, y considerando la cardinalidad del conjunto$\{0\}\times\alpha\cup\{1\}\times\beta$, que es igual al máximo de$|\alpha|$y$|\beta|$(Concedido uno es infinito).

La exponenciación, que es la más extraña, se define de manera muy diferente, de nuevo, a los ordinales y cardinales.

• en cardenales$\alpha^\beta$es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de$\beta$a$\alpha$.

• En los ordinales, nos importa el orden, así que$\alpha^\beta$es el tipo de orden del orden lexicográfico inverso de funciones de$\beta$en$\alpha$que son distintos de cero sólo en un número finito de coordenadas.

  De manera equivalente, y quizás más claramente, podemos definir esto por inducción,$\alpha^0=1$,$\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha$, y para un ordinal límite$\delta$,$\alpha^\delta=\sup\{\alpha^\beta\mid\beta<\delta\}$.

  Ahora vemos fácilmente que$2^\omega=\omega$cuando estamos hablando de exponenciación ordinal.$2^\omega$es el límite de$2^n$para finito$n$, pero$2^n$tiene un tipo de orden finito y es una secuencia estrictamente creciente. El límite de una secuencia estrictamente creciente de ordinales finitos es$\omega$sí mismo.

Bueno, suena raro, ¿no? Pero no es realmente raro. Tenemos este tipo de fenómeno en otros sistemas aritméticos más familiares.

En los números naturales$n\cdot m$puede definirse como la adición repetida de$n$,$m$veces. La adición en sí misma se puede definir como una operación sucesora repetida. Por otro lado, cuando consideramos los números reales$\sqrt2\cdot\sqrt2$no puede pensarse como una suma repetida. ¿Qué significa siquiera agregar algo?$\sqrt2$¿veces? Es cierto que en este caso, si nos restringimos a los números naturales entonces las operaciones se convierten en aplicaciones repetidas de la "operación anterior", pero esto se debe a la naturaleza de los números naturales como piedra angular de las matemáticas modernas (en muchos casos). Muchas maneras). Este no es el caso para los pedregosos infinitos y de menos esquinas, como se muestra en los ordinales y cardinales.

Bueno, para ser franco, la distinción entre$2^\omega$y$2^{\aleph_0}$es más extraño, ya que tenemos un vínculo bastante natural entre$\omega$y$\aleph_0$, mientras que no tenemos eso entre cualquier número natural y$\sqrt2$.

El primer caso utiliza dos estructuras homomórficas, con cardinalidades fácilmente incrustadas isomórficamente en ordinales, y exactamente el mismo operador sintáctico , lo que produce resultados no isomórficos. Eso es realmente raro.

NOTA : esto fue pensado como un comentario a la muy buena respuesta anterior, no a la pregunta original. Lo siento.