¿Por qué el Lagrangiano es un número negativo para una partícula puntual masiva relativista?

En el nivel clásico (es decir,$\hbar=0$), para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange (es decir, la versión relativista especial de la segunda ley de Newton) de la acción$S$, un factor multiplicativo general distinto de cero (posiblemente negativo) es irrelevante. En este caso, la normalización se elige de modo que el Lagrangiano

recupera la conocida expresión de la energía cinética (hasta una constante aditiva) en el límite no relativista$v\ll c$. Entonces, un poco simplificado, el signo negativo es causado por la enorme energía de reposo$E_0=m_0c^2$. Tenga en cuenta que una constante aditiva en el Lagrangiano no afecta las ecuaciones de movimiento.

El argumento que he visto es que la acción es la longitud de la geodésica, es decir

pero sabemos que la trayectoria de una partícula relativista libre es la que maximiza la longitud del camino. Entonces escribiendo:

obtenemos una acción que se minimiza para la ruta correcta (el$m$está ahí para hacer las dimensiones correctas).

Todas estas notas tienen un contenido físico importante e interesante; sin embargo, prefiero la base sólida de la prueba dada en la Mecánica Clásica de Goldstein. Para que el hamiltoniano represente la energía relativista total, el lagrangiano debe tener un signo menos antes que el resto de la energía y de forma no homogénea

$L=-\frac{m_0c^2}{\gamma}-V \Longleftrightarrow h=\gamma m_0c^2+V$

Tenga en cuenta que de esta manera, tanto el lagrangiano como el hamiltoniano son únicos.

el lagrangiano$L = T-V$describe la energía del movimiento menos la energía de la posición. Por lo tanto, el signo negativo de ese Lagrangiano para una acción relativista de una partícula puntual masiva describe la desaceleración de esa partícula masiva debido a la enorme energía potencial, que siempre será mayor que su energía de movimiento.