La transformación de un conjunto lineal independiente es linealmente independiente

Pregunta

Dejar v 1 , ⋯ , v norte ser vectores en un espacio vectorial V y deja T : V → W Sea una transformación lineal.
si T ( v 1 ) , ⋯ , T ( v norte ) es linealmente independiente en W , muestra esa v 1 , ⋯ , v norte es linealmente independiente en V .

Esto es lo que tengo hasta ahora:

si T ( v 1 ) , ⋯ , T ( v norte ) es linealmente independiente, existen escalares iguales a 0 tal que:

C 1 T ( v 1 ) + C 2 T ( v 2 ) + ⋯ + C norte T ( v norte ) = 0 T ( C 1 v 1 + ⋯ + C norte v norte ) = 0

porque T es una transformación lineal.

¿A donde voy desde aqui? ¿Necesito demostrar que T es inyectiva de ¿puedo decir que v 1 , ⋯ , v norte es linealmente independiente porque dije antes que los escalares son iguales a 0 ?

Tiene que haber más para T , como base de proyección de vectores a un subespacio no guarda independencia lineal.
@Cbjork Solo necesita retirar la independencia lineal. La suposición es que la imagen es linealmente independiente.
Ah, debería leer la pregunta.
Intenta probar la contrapositiva. Si tienes una combinación lineal no trivial entre v 1 , … , v norte , entonces, ¿qué sucede al aplicar T
@IBWiglin, ¿puedes reformular eso? el álgebra lineal no es mi fuerte. Así que toda la terminología pasa por encima de mi cabeza. Lo siento :(

Respuestas (1)

quieres mostrar v 1 , … , v norte son linealmente independientes. Supongamos que no lo son. Luego están los escalares. C 1 , … , C norte (no todo cero) de modo que C 1 v 1 + … + C norte v norte = 0 . Entonces

T ( C 1 v 1 + … + C norte v norte ) = T ( 0 ) = 0.
Entonces C 1 T ( v 1 ) + … + C norte T ( v norte ) = 0 , Lo que significa que T ( v 1 ) , … , T ( v norte ) no son linealmente independientes. Esta contradicción significa la suposición de que el v i s son linealmente dependientes es falso, por lo que son linealmente independientes.

Escribí que si v_1,...,v_n son linealmente dependientes, entonces los escalares c_1,...,c_n no son todos cero, lo que contradice la afirmación de que c_1,...,c_n son cero. ¿Eso funcionará? ¿Tiene sentido?
¿Cuál es la definición de independencia lineal que está utilizando?
La transformación de un conjunto lineal independiente es linealmente independiente
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