¿Se garantiza que el conjunto de transformaciones lineales L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) contenga al menos una transformación inyectiva?

Question

¿Se garantiza que el conjunto de transformaciones lineales L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) contenga al menos una transformación inyectiva?

Matemáticas
redacción de pruebas
espacios vectoriales
álgebra lineal
transformaciones lineales

Tristán Batchler

Me preguntaba si hay una respuesta rápida a esta pregunta, preferiblemente con una prueba o argumento de apoyo. Pensando rápidamente en el caso extremo donde $V = \{ \mathbf{0} \}$ , es cierto que cualquier transformación lineal $T: \{ \mathbf{0} \} \to \mathbb{F}$ es inyectiva porque solo hay un elemento en la preimagen.

En resumen, busco un argumento a favor/en contra de la idea de que todo conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial $V$ a un campo $\mathbb{F}$ ( $\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) = V^*$ si lo prefiere) contiene al menos una transformación inyectiva.

¡Salud!

Mariano Suárez-Álvarez

¿Ha tratado de ver qué sucede en un ejemplo real, como

V = R^{2}

$V=\mathbb R^2$ ?

Tristán Batchler

@MarianoSuárez-Álvarez Lo he pensado pero es difícil inspeccionar el conjunto de todas las transformaciones lineales de

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ a

R

$\mathbb{R}$ ...

enojadoaviano

@TristanBatchler El conjunto de todas las transformaciones lineales de

R^{m} \to R^{n}

$\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ puede ser visto como el conjunto de

n \times m

$n \times m$ matrices.

alegre

Cualquier transformación lineal del plano a la línea se ve como

f (x, y) = a x + b y

$f(x, y) = ax + by$ para algunas constantes

a, b

$a, b$ . ¿Puedes encontrar dos puntos diferentes asignados a

0

$0$ ?

Tristán Batchler

Bien

f (0, 0) = 0

$f(0, 0) = 0$ y supongo que también

f (- b y / a, y)

$f(-by/a, y)$ asumiendo

a \neq 0

$a \neq 0$ .

Mariano Suárez-Álvarez

Me sorprende mucho que sepas qué es el espacio dual de un espacio vectorial o cuál es la dimensión de un espacio vectorial, y te resulte difícil inspeccionar todas las transformaciones lineales.

R^{2} \to R

$\mathbb R^2\to\mathbb R$ :-|

alegre

@TristanBatchler: Sí, y también

f (b t, - a t) = 0

$f(bt, -at) = 0$ para todos

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ , sin supuestos sobre los valores de

a

$a$ y

b

$b$ .

Respuestas (1)

¿Se garantiza que el conjunto de transformaciones lineales L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) contenga al menos una transformación inyectiva?

¿Ha tratado de ver qué sucede en un ejemplo real, como $V=\mathbb R^2$ ?
@MarianoSuárez-Álvarez Lo he pensado pero es difícil inspeccionar el conjunto de todas las transformaciones lineales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ ...
@TristanBatchler El conjunto de todas las transformaciones lineales de $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ puede ser visto como el conjunto de $n \times m$ matrices.
Cualquier transformación lineal del plano a la línea se ve como $f(x, y) = ax + by$ para algunas constantes $a, b$ . ¿Puedes encontrar dos puntos diferentes asignados a $0$ ?
Bien $f(0, 0) = 0$ y supongo que también $f(-by/a, y)$ asumiendo $a \neq 0$ .
Me sorprende mucho que sepas qué es el espacio dual de un espacio vectorial o cuál es la dimensión de un espacio vectorial, y te resulte difícil inspeccionar todas las transformaciones lineales. $\mathbb R^2\to\mathbb R$ :-|
@TristanBatchler: Sí, y también $f(bt, -at) = 0$ para todos $t \in \mathbb{R}$ , sin supuestos sobre los valores de $a$ y $b$ .

enojadoaviano · Answer 1

Si $T : V \to \mathbb{F}$ es inyectiva, entonces la dimensión de la imagen $T(V)$ es $\dim(V)$ . Sin embargo, la imagen se encuentra en el espacio vectorial unidimensional. $\mathbb{F}$ Así que si $\dim(V) > 1$ esto es una contradicción.

Entonces, básicamente, esto solo es cierto para $V$ es el espacio vectorial cero o $\mathbb{F}$ ?

¿Se garantiza que el conjunto de transformaciones lineales L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) contenga al menos una transformación inyectiva?

Tristán Batchler

Mariano Suárez-Álvarez

Tristán Batchler

enojadoaviano

alegre

Tristán Batchler

Mariano Suárez-Álvarez

alegre

Respuestas (1)

enojadoaviano

Tristán Batchler

Parte de probar que un conjunto es un subespacio de R3R3\mathbb{R}^3

La transformación de un conjunto lineal independiente es linealmente independiente

¿Cómo probar lo siguiente sobre transformaciones lineales, composición y dimensión de transformación igual?

¿Las transformaciones lineales deben ser inyectivas?

Transformación lineal y su matriz con respecto a bases desconocidas

Intuición detrás del teorema de la dimensión [duplicado]

Si una matriz simétrica conmuta con todas las matrices simétricas, ¿es entonces un múltiplo de la identidad?

Demostrar que una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

¿Conjunto de todas las transformaciones lineales no inyectivas un subespacio?

Transformaciones lineales linealmente independientes