¿Solo las transformaciones lineales son asociativas?

Estoy aprendiendo álgebra lineal y cálculo de Apostol Calculus Volumen 2 y lo encuentro muy satisfactorio. Hoy me encontré con el teorema 2.5 en el capítulo transformaciones lineales y matrices que establece que:

Si T : tu → V , S : V → W , R : W → X son tres funciones, entonces tenemos:

R ( S T ) = ( R S ) T

Prueba:

Ambas funciones R ( S T ) y ( R S ) T tener dominio tu y valores en X . Para cada X en U tenemos:

[ R ( S T ) ] ( X ) = R [ ( S T ) ( X ) ] = R [ S [ T ( X ) ] ] y [ ( R S ) ( T ) ] ( X ) = ( R S ) [ T ( X ) ] = R [ S [ T ( X ) ] ]

Esta es una prueba muy natural y lo entiendo. Lo que no entiendo es el uso de la transformación lineal y la estructura de los espacios vectoriales en la demostración. Quiero decir que no es del todo obvio dónde la prueba hace uso de los axiomas de transformación lineal y espacios vectoriales.

Entonces, ¿el teorema es válido para transformaciones no lineales y/o conjuntos que no son espacios vectoriales? En caso negativo, indique los supuestos de la prueba y su alcance.

El teorema dice "funciones", no "transformaciones lineales". De hecho, la composición de funciones es asociativa, sin importar si la función es lineal.
@symplectomorphic ¿Puedo ver las transformaciones lineales como funciones?
sí, por supuesto... una transformación lineal es un tipo específico de función.
¿Qué pasa con las transformaciones no lineales? Creo que también se pueden ver como funciones, lo que también las hace asociativas. ¿Estoy en lo correcto?
no solo tienes razón, eso es lo que dije en mi primer comentario, y eso es lo que dice el teorema en el libro de Apostol . La única suposición del teorema es que R , S , y T son funciones. No asume nada más sobre ellos (excepto que sus dominios y rangos se especifican para que la composición de funciones tenga sentido). En particular, no asume que son transformaciones lineales.
@symplectomorphic Bien, esto responde a mi pregunta, si la responde, la aceptaré.

Respuestas (2)

El teorema dice "funciones", no "transformaciones lineales", por lo que, de hecho, el teorema que Apostol demuestra responde a su pregunta: sí, la composición de funciones es asociativa, sin importar si las funciones involucradas son lineales. Tiene razón al ver que la prueba no depende de ninguna manera de la linealidad, porque, de hecho, la linealidad no se supone ni se necesita.

Solo una pregunta rápida, ¿puedo usar el teorema para probar la asociatividad de la multiplicación de matrices? Si es posible, me ahorraría muchos cálculos que parecen artificiales.

Quizás la razón principal es que:

  • Las funciones entre conjuntos son asociativas en el mismo sentido que antes.
  • "una transformación lineal es lo que hace una transformación lineal", es decir que una transformación lineal está completamente determinada por dónde envía cada elemento de su dominio.

La teoría de categorías es un tema que es bueno para formalizar respuestas a preguntas de este tipo, lo invito a buscarlo.

Estoy estudiando álgebra lineal introductoria, por lo que quizás la teoría de categorías esté fuera de discusión.
Creo que la definición de transformación lineal que proporcionó también se aplica a las funciones.
¿Solo las transformaciones lineales son asociativas?
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