Matriz de transformación para rotación sobre un eje arbitrario

Específicamente, no sé qué enfoque tomar para responder la pregunta 1.9 de Griffiths en su introducción a la electrodinámica:

Encuentre la matriz de transformación R que describe una rotación de 120 grados alrededor de un eje desde el origen hasta el punto$(1,1,1)$. La rotación es en el sentido de las agujas del reloj cuando miras hacia abajo del eje hacia el origen.

De la página de Glen Murray sobre rotaciones, el supuesto enfoque a seguir es rotar sucesivamente el espacio para que el eje de rotación se asiente a lo largo del eje z$T$, :

$$T = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0& \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ 0&\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta} \\ 0 &1&0 \\ -\sin{\beta} &0 & \cos{\beta} \end{pmatrix}$$

realizar la rotación$\theta$,:

$$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} &0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

y girar el espacio de nuevo a su orientación original$T^{-1}$.

$T$primero rota el espacio de modo que el eje de rotación se asiente en el plano xz. En segundo lugar, gira el espacio de manera que el eje de rotación se encuentra a lo largo del eje z.

Este enfoque parece demasiado tedioso, ya que esta es una pregunta introductoria en un capítulo introductorio. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Donde voy a proceder en este enfoque, para el eje arbitrario desde el origen a través del punto$(a,b,c)$, entonces necesitaría derivar los ángulos$\alpha$y$\beta$como sigue.

$\alpha = \arctan{\frac{b}{a}}$

$\beta = \arctan{\frac{a\cos{\alpha} +b\sin{\alpha}}{c}}$