Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas: ¿suma de soluciones?

Estoy un poco atascado y esperaba que alguien pudiera aclarar sobre la superposición de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Me enseñaron que si tienes dos soluciones para una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de estas dos soluciones también será una solución.

Pero seguramente esto no puede ser el caso. Digamos que tengo la ecuación diferencial

L ( y ) = a ( X ) d 2 y X 2 + b ( X ) d y d X + C ( X ) y = F ( X ) y tengo dos soluciones y 1 y y 2 , entonces la suma no es una solución como

L ( y 1 + y 2 ) = L ( y 1 ) + L ( y 2 ) = 2 F ( X ) ≠ F ( X )

Tengo la sensación de que he entendido mal algo bastante básico aquí...

Respuestas (3)

El espacio de soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea es un espacio afín de dirección el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea asociada .

De hecho, si y 1 y y 2 son dos soluciones de la ecuación no homogénea, y 1 − y 2 es una solución de

a ( X ) y ″ ( X ) + b y ′ ( X ) + C ( X ) y ( X ) = F ( X ) − F ( X ) = 0
Por el contrario, si y_2(x) es una solución de la ecuación no homogénea y z ( X ) una solución de la ecuación homogénea asociada, es fácil comprobar y 1 ( X ) = y 2 ( X ) + z ( X ) es una solución de la ecuación no homogénea.

Por lo tanto, para resolver completamente una ecuación diferencial lineal no homogénea, debe: 1) resolver completamente la ecuación asociada lineal homogénea; 2) encontrar una solución de la ecuación no homogénea; 3) añadir cualquier solución de 1) a la solución particular de 2).

¡Gracias por su respuesta! Conozco el método de resolución de ecuaciones no homogéneas mediante la función complementaria y la integral particular, sin embargo, lo que estoy atascado es que parece que automáticamente si una ecuación no es homogénea, es no lineal. Tomemos, por ejemplo, la declaración en Wikipedia: 'Una ecuación diferencial lineal se llama homogénea si se cumple la siguiente condición: Si ϕ ( X ) es una solución, también lo es C ϕ ( X ) ...Una ecuación diferencial lineal que no cumple con esta condición se denomina no homogénea. Sin embargo, ¿no es esta condición una característica definitoria de la ecuación lineal?
¿Quizás estoy confundiendo un operador lineal con una ecuación lineal? ¿Es posible que estas ecuaciones se llamen lineales porque contienen solo operadores lineales?
No, no es una característica definitoria de una ecuación lineal sino de una ecuación homogénea (existen ecuaciones no lineales homogéneas). Una ecuación es lineal si su parte homogénea es lineal, lo que corresponde a un operador lineal. Por ejemplo φ ↦ a(x)\varphi''(x)+b(x)\varphi'(x)+c(x)\varphi(x)$ define un operador lineal en el espacio de la función dos veces diferenciable.

Veo que nadie ha respondido realmente a su pregunta, y yo estaba buscando lo mismo, así que colaboraré.

Si tiene dos soluciones para una ecuación diferencial lineal no homogénea, llamémoslas y 1 y y 2 entonces no tienes garantía de que y 1 + y 2 es una solución

Prueba:

Dejar y 1 y y 2 ser dos soluciones a la ecuación diferencial lineal no homogénea general d y d t = a ( t ) y + b ( t ) . Entonces, la suma

d y 1 d t + d y 2 d t = a ( t ) y 1 + b ( t ) + a ( t ) y 2 + b ( t )
Se puede escribir como
d ( y 1 + y 2 ) d t = a ( t ) ( y 1 + y 2 ) + 2 b ( t )
lo que indica claramente que y 1 + y 2 no es una solución a la ODE original a menos que b ( t ) = 0 para todos t .

Puede agregar una solución al sistema homogéneo a cualquier cosa. Dado que esa solución dará cero, f(x) permanece sin cambios.

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