El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales — prueba usando permutaciones

Demostrar que el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales.

Mi intento:

Suponer$A$es un$n\times n$matriz, entonces:

El producto de las entradas diagonales es$A_1\sigma_1 \cdots A_n\sigma_n$cuando$\sigma_i = i$para$i = 1, \ldots, n$.

Afirmo que cuando la permutación no es una identidad, existe$i$y$j$calle$\sigma_i < i$y$\sigma_j > j$.

Dejar$\sigma_j \neq j$, entonces$\sigma_k = j$donde ya sea$k > j$o$k < j$.

Si$k > j$, dejar$\sigma_\ell = k$dónde$\ell > k$o$\ell < k$.

Si$\ell < k$, hecho. De lo contrario,$\ell > k$y supongamos por$\sigma_\ell, \ldots, \sigma_n$eso$n>\cdots>\ell$y siga la secuencia de operaciones anterior de forma incremental.

Entonces,$\sigma_n = n - 1$.

Esto implica que$\sigma_p = n$dónde$p \leq j$.

Si$k <j$, dejar$\sigma_h = k$dónde$h > k$o$h < k$.

Del mismo modo, si$h > k$, hecho. De lo contrario,$h < k$y supongamos por$\sigma_1, \ldots, \sigma_h$eso$1<\ldots<h$y siga la secuencia de operaciones anterior de forma incremental.

Entonces,$\sigma_1 = 2$.

Esto implica que$\sigma_q = 1$dónde$q \geq j$.

Por lo tanto, hay al menos una$i$y$j$calle$\sigma_i < i$y$\sigma_j > j$.

Por definición, si$A$es triangular superior,$A_{ij} = 0$cuando$i > j$y entonces,$A_{i\sigma_i} = 0$. Alternativamente, si$A$es triangular inferior,$A_{ij} = 0$cuando$i < j$y$A_{j\sigma_j} = 0$.

Entonces, el determinante de una matriz triangular es de hecho el producto de las entradas diagonales.

QED.

No estoy seguro si mi prueba es correcta y quería que alguien la revisara. Avíseme si cometí algún error en alguna parte y, de ser así, qué puedo y debo hacer para corregirlo.