¿Cómo probar lo siguiente sobre transformaciones lineales, composición y dimensión de transformación igual?

Seamos un poco más generales por un momento. Suponer$V$,$W$son espacios vectoriales de dimensión finita con$\dim V = \dim W$.
Dejar$T : V \to W$Sea una transformación lineal.

Los siguientes son equivalentes:

1. $T$es una biyección.
2. $T$es uno a uno.
3. $T$está sobre.

Y la prueba es simple: el teorema de nulidad de rango .

Es decir, obtienes eso

$$\dim(\operatorname{image}(T)) + \dim(\ker(T)) = \dim(V) = \dim(W).$$ La última igualdad se sigue de nuestra hipótesis. (El$\ker$significa kernel, puede que lo conozca como "espacio nulo".)

Ahora, puede probar la equivalencia recordando los siguientes hechos:

1. $T$es uno a uno$\iff$ $\ker(T) = \{0\}$.
2. $T$está en$\iff$ $\dim(\operatorname{image}(T)) = \dim(W)$.

---

Ahora, volviendo a tu pregunta. te dan eso$S \circ T = \operatorname{id}_V$. De esto se sigue que$S$es sobre y$T$es uno a uno. (Este es un hecho general acerca de las funciones.)
Por lo tanto, vemos que$S$y$T$son ambas biyecciones. En particular, tienen una inversa. La teoría de conjuntos usual ahora nos dice que$T \circ S$también debe ser el mapa de identidad (apropiado).