La superposición de dos estados determinantes de Slater

Supongamos que tengo dos estados numéricos fermiónicos en diferentes bases, con el mismo número de partículas$N$- llámalos$|\Psi\rangle$y$|\Phi\rangle$. En la base de posición, puedo escribir las funciones de onda de muchos cuerpos como determinantes de Slater:

$$\Psi(x_1,x_2,\dots)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\det(\overline{\psi})$$ $$\Phi(x_1,x_2,\dots)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\det(\overline{\phi})$$ dónde: $$\overline{\psi}=\begin{bmatrix}\psi_1(x_1)&\psi_2(x_1)&\dots&\psi_N(x_1)\\\psi_1(x_2)&\psi_2(x_2)&\dots&\psi_N(x_2)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\psi_1(x_N)&\psi_2(x_N)&\dots&\psi_N(x_N)\end{bmatrix}$$ $$\overline{\phi}=\begin{bmatrix}\phi_1(x_1)&\phi_2(x_1)&\dots&\phi_N(x_1)\\\phi_1(x_2)&\phi_2(x_2)&\dots&\phi_N(x_2)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\phi_1(x_N)&\phi_2(x_N)&\dots&\phi_N(x_N)\end{bmatrix}$$

Supongamos que ahora que conozco el$\psi_n,\phi_n$, y quiero calcular$\langle\Psi|\Phi\rangle=\int d\mathbf{x} \Psi^*(\mathbf{x})\Phi(\mathbf{x})$. ¿Hay una forma manejable de calcular esto? Supongo que podría usar el hecho de que$\det(\overline{\Psi}^\dagger\overline{\Phi})=\det(\overline{\Psi}^\dagger)\det(\overline{\Phi})$para construir el integrando, luego integrar sobre todas las dimensiones espaciales. Pero esto parece verdaderamente horrendo: una$N\times N$multiplicación de matrices y cálculo de determinantes, entonces$N$integraciones espaciales. No creo que pueda ser tan complicado. ¿Hay alguna simplificación que me falta que me permita calcular esto de manera manejable? Espero que se reduzca a algo como esto:

$$\sum_n\int dx \phi_n^*(x)\psi_n(x)$$ pero apropiadamente antisimetrizado para que sea invariante bajo el intercambio de identidades de partículas. Sin embargo, estoy totalmente perplejo sobre cómo simplificar a una forma como esa.