Partículas idénticas en mecánica cuántica

Discutamos primero el caso de partículas distinguibles: para estudiar un sistema de dos partículas distinguibles, debe considerar el espacio de Hilbert$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$, dónde$\mathscr{H}_1$es el espacio de Hilbert de la partícula uno y$\mathscr{H}_2$el espacio de Hilbert de la partícula dos. Un estado genérico$|\psi\rangle \in \mathscr{H}$se puede ampliar de la siguiente manera:

$$|\psi\rangle = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, |i\rangle\otimes |j\rangle \quad ,$$

dónde$\{|i\rangle\}_i$y$\{|j\rangle\}_j$son bases ortonormales completas en$\mathscr{H}_1$y$\mathscr{H}_2$, respectivamente. La representación del espacio de posición correspondiente se lee entonces

$$\left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right) |\psi\rangle \equiv \psi(x_1,x_2) = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, \left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right)|i\rangle\otimes |j\rangle \equiv\sum\limits_{ij} c_{ij} \,\phi_i(x_1)\, \varphi_j(x_2) \quad ,$$ con$\langle x|i\rangle \equiv \phi_i(x)$y$\langle x|j\rangle \equiv \varphi_j(x)$.

Como puede ver, realmente necesita dos índices de posición,$x_1$y$x_2$, para escribir la función de onda del sistema compuesto. Esto es necesario para que el formalismo matemático tenga sentido: para calcular correctamente todos los valores esperados, necesitamos información sobre ambas partículas, no solo sobre una.

Con respecto a su segunda pregunta: en el caso de una partícula, interpretamos (dado que la función de onda está normalizada)$|\Psi(x)|^2 \mathrm{d} x$como la probabilidad de que encuentres la partícula en el elemento de volumen$\mathrm{d}x$alrededor$x$. De manera similar, en el caso de dos partículas, tenemos que$|\psi(x_1,x_2)|^2 \mathrm{d}x_1\, \mathrm{d}x_2$corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula uno en$\mathrm{d}x_1$alrededor$x_1$y la partícula dos en$\mathrm{d}x_2$alrededor$x_2$.

Toda la discusión fue sobre partículas distinguibles. En el caso de dos partículas indistinguibles, debe considerar los subespacios simetrizados y antisimetrizados de$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_1$: Para el caso de dos partículas fermiónicas necesitas$\mathscr{H}_{\mathrm{F}} \equiv \mathscr{H}_1 \wedge \mathscr{H}_1$, mientras que el espacio de Hilbert de dos bosones es$\mathscr{H}_{\mathrm{B}} \equiv \mathscr{H}_1 \vee\mathscr{H}_1$. En estos casos, aún necesita dos etiquetas de posición, cada una para una partícula. Sin embargo, en contraste con el caso distinguible de dos partículas, tenemos que$|\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_1,x_2)|^2 = |\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_2,x_1)|^2$, que se deriva de las propiedades de simetría de la función de onda para (dos) partículas idénticas. Esto lleva al hecho de que la probabilidad de encontrar una de las dos partículas en$x_1$y el otro en$x_2 \neq x_1$es dado por

$$2!\, |\psi_{\mathrm{F/B}}(x_1,x_2)|^2\mathrm d x_1\,\mathrm dx_2 \quad .$$

Tenga en cuenta que ya no tiene sentido hablar de la partícula uno y la partícula dos, como en el caso de las partículas distinguibles.

Hubiera pensado que la función de onda (incluso para un sistema de dos partículas) solo tendría un valor para cada punto en el espacio y en el tiempo y sería simplemente:$Ψ(\mathbf{r},t)$

Para un sistema de dos partículas en una dimensión, necesita$2$coordinada (excluyendo el tiempo por un segundo), una especificando la coordenada para una partícula y la otra para otra partícula. Puedes entenderlo en términos del grado de libertad.

Tenga en cuenta que no estamos dando la posición exacta de las partículas a través de la función de onda, sino solo la probabilidad de que estén en algún punto (o más bien en algún intervalo).

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Lo esencial

Para un sistema con dos partículas en una dimensión (podemos generalizar esto a más dimensiones), podemos definir los kets

$$|x_1\rangle\otimes |x_2\rangle \longleftrightarrow \begin{cases} \text{particle 1 at} \ x_1\\ \text{particle 2 at} \ x_2 \end{cases}$$ Entonces, la función de onda para dos partículas se puede escribir como $$|\psi\rangle =\sum_{\omega_1}\sum_{\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}|\omega_1\rangle \otimes |\omega_2\rangle$$ dónde$|\omega_1\rangle$y$|\omega_2\rangle$son kets propios del operador$\Omega_1^{(1)}$y$\Omega_2^{(2)}$(un operador en$\mathcal{V}_1$y$\mathcal{V}_2$).

Sobre una base de posición, esto se convertiría en

$$\psi(x_1,x_2)=\sum_{\omega_1,\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}\omega_1(x_1)\omega_2(x_2)$$

Responderé a tus preguntas en orden inverso.

Supongo que incluso tengo un problema con "las coordenadas de la partícula uno": ¿eso no implica que conocemos la posición exacta de las partículas, cuando estamos tratando de encontrar su función de onda, que necesariamente está dispersa?

Solo piensa en un caso de una partícula. Podemos hablar de 'la coordenada de la partícula$x$', y la función de onda$\Psi(x)$es una función de valor complejo de esa coordenada. La coordenada es solo una etiqueta para las posibles posiciones; no implica que sepamos que la partícula está ubicada en una posición particular, ya que$\Psi(x)$no necesita ser una función delta.

Estoy teniendo un pequeño problema con esto. Hubiera pensado que la función de onda (incluso para un sistema de dos partículas) solo tendría un valor para cada punto en el espacio y en el tiempo y sería simplemente: Ψ(𝑟,𝑡)

De hecho, este es un punto sutil y este es realmente uno de los puntos clave en el corazón de la mecánica cuántica.

Cuando se le presenta por primera vez la mecánica cuántica, tiende a pensar en la función de onda como "como" el campo eléctrico, pero en lugar de un vector en cada punto del espacio, tiene un número complejo. Entonces podrías pensar que la generalización natural de tener dos partículas es tener dos campos. Por ejemplo, por analogía, podrías pensar en tener dos campos, como el campo eléctrico y el magnético, por lo que tienes dos vectores en cada punto del espacio.

De hecho, esta no es la generalización correcta. Una mejor analogía para la mecánica cuántica es la teoría de la probabilidad. Digamos que quiero saber la probabilidad de que llueva el lunes y el martes. Podrías decir, "bueno, hay un 10 % de probabilidad de lluvia el lunes y un 10 % de probabilidad el martes, y los multiplico". Pero este no es un buen modelo porque estos eventos están correlacionados . Si llueve el lunes, entonces hay una mayor probabilidad de que llueva el martes.

En mecánica cuántica, necesitamos asociar un número complejo (llamado amplitud de probabilidad ) con cada estado del sistema. Para dos partículas, un estado del sistema sería "La partícula 1 está en la ubicación$x_1$y la partícula 2 está en la posición$x_2$." Podemos escribir el número complejo asociado con este estado como$\Psi(x_1,x_2)$. Entonces podría pensar, por analogía con la situación del campo eléctrico/magnético, que podría descomponer este número complejo en un número complejo asociado con la partícula 1 y uno para la partícula 2:$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. En general, esto es incorrecto, porque queremos permitir el caso de que la posición de la partícula 1 esté correlacionada con la posición de la partícula 2. Por lo tanto, realmente deberíamos pensar en la función de onda de dos partículas al vivir en un espacio que tiene 6 dimensiones, 3 dimensiones para la partícula 1 y 3 para la partícula 2.

Dicho esto, hay situaciones específicas en las que está bien pensar que las partículas 1 y 2 no están correlacionadas, en cuyo caso está bien descomponer$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. Esto también es cierto en la teoría de la probabilidad: si tenemos dos dados y queremos saber la probabilidad de que ambos sean un 6, entonces, de hecho, podemos multiplicar la probabilidad de que el dado 1 resulte un 6 y el dado 2 resulte un 6. , ya que se trata de dos eventos independientes. Sin embargo, no es cierto en general.

Por si sirve de algo, personalmente creo que este tema se vuelve más confuso debido a la forma en que se enseña, que a menudo consiste en presentar el tema con dos problemas de partículas donde las partículas no están correlacionadas y las funciones de onda de cada partícula se pueden separar. Como he tratado de enfatizar, este es solo un caso especial, y si no tiene cuidado, puede tener una idea equivocada sobre cómo generalizar la mecánica cuántica de 1 a 2 partículas.

@JacobLa respuesta perfecta de es difícil de mejorar. Solo intentaré abordar explícitamente un punto de confusión al que alude en su pregunta.

Cuando hablamos de$\psi(x_1)$, no significa que$x_1$es la posición de la partícula$1$. Esto significa que$\psi(x_1)$es la amplitud de probabilidad de encontrar partículas$1$en una posición$x_1$. Como hay dos partículas, hay dos posiciones que puede medir simultáneamente y, por lo tanto,$\psi(x_1)$es la amplitud de probabilidad de que la partícula$1$se encuentra en$x_1$y$\phi(x_2)$es la amplitud de probabilidad de que la partícula$2$se encuentra en$x_2$.

En otras palabras, imaginemos que ni siquiera sabía que tenía dos partículas, lo que aún encontraría, cuando salga y haga el experimento, es que hay dos posiciones que puede medir simultáneamente, entonces, nosotros necesidad de describir estas dos amplitudes de probabilidad. Como cuando tenemos una posición que medir y hablamos de$\psi(x)$, no queremos decir que la partícula está en una posición particular$x$sino que queremos decir que estamos hablando de la amplitud de probabilidad de encontrar la partícula en$x$al medir, de manera similar, cuando tenemos dos posiciones, podemos hablar de$\psi(x_1)$y$\phi(x_2)$.

Como @Jacobla respuesta de explica en detalle matemático, la función de onda completa del sistema sería un producto fermiónico/bosónico de$\psi(x_1)$y$\phi(x_2)$para partículas idénticas y sería un producto exterior simple para partículas distinguibles. Intuitivamente, para partículas distinguibles, la función de onda completa puede ser simplemente$\psi(x_1)\phi(x_2)$(más o menos, al igual que las probabilidades de que los eventos independientes se multipliquen). Para partículas indistinguibles, debe asegurarse de que la función de onda sea invariable (hasta una fase general) al intercambiar las dos partículas (número arbitrario de veces); esto lleva a dos opciones, la simétrica / antisimétrica.$\psi(x_1)\phi(x_2)\pm\psi(x_2)\phi(x_1)$.

Hubiera pensado que la función de onda (incluso para un sistema de dos partículas) solo tendría un valor para cada punto en el espacio y en el tiempo y sería simplemente:$\Psi(r,t)$.

Bueno, no es así como funciona la ecuación de Schroedinger para sistemas de muchas partículas. Es difícil ver cómo podría funcionar: ¿qué usaría el hamiltoniano para interactuar con dos, tres o más electrones que solo se refieren a un vector de posición única?$\mathbf r$¿ser? Necesitamos más vectores para describir la configuración y la interacción de los sistemas de muchas partículas. La forma estándar de describir la interacción de los electrones es a través de términos colombianos.

$$\frac{Kq_iq_k}{|\mathbf r_i-\mathbf r_k|}$$ donde obviamente necesitamos diferentes coordenadas$\mathbf r_i$ $\mathbf r_k$. Si fueran iguales, los términos de interacción serían siempre infinitos y sin sentido.

Uno puede salirse con la suya usando un solo vector$\mathbf r$para describir átomos de un solo electrón, porque el núcleo se puede fijar, pero con$n$electrones, necesitamos$n$vectores de posición.

Supongo que incluso tengo un problema con "las coordenadas de la partícula uno": ¿eso no implica que conocemos la posición exacta de las partículas, cuando estamos tratando de encontrar su función de onda, que necesariamente está dispersa?

No, no lo hace. Es solo una coordenada en el espacio de configuración, no sabemos su "valor". Es solo una variable matemática que nos ayuda a hacer cálculos de los promedios esperados de varias cantidades (incluidas las coordenadas). Pero no hay necesidad de saber o distinguir las partículas para usar las coordenadas y las reglas de la teoría cuántica.