Pozo cuadrado infinito 1D: la caja aumenta repentinamente de tamaño. ¿Cómo tratar esto?

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Pozo cuadrado infinito 1D: la caja aumenta repentinamente de tamaño. ¿Cómo tratar esto?

Yoda

Actualmente estoy trabajando en el libro de John S. Townsend "A Fundamental Approach to Modern Physics" (ISBN: 978-1-891389-62-7). El ejercicio 3.12 (p.111) trata sobre el pozo cuadrado infinito 1D. La caja tiene las barreras potenciales en $x=0$ y $x=L$ .

V (X) = {\begin{cases} \infty & X < 0 \\ 0 & 0 \leq X \leq L \\ \infty & X > L \end{cases}

$V\left(x\right) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ 0 & 0 \leq x \leq L \\ \infty & x > L \end{cases}$

El texto dice lo siguiente:

Una partícula de masa $m$ está en el estado de energía más bajo (base) del pozo de energía potencial infinita. En el momento $t=0$ la pared situada en $x=L$ es empujado repentinamente hacia atrás a una posición en $x=2L$ . Este cambio ocurre tan rápidamente que instantáneamente la función de onda no cambia. ( $a$ ) Calcular la probabilidad de que una medición de la energía produzca la energía del estado fundamental del nuevo pozo.

La respuesta a esta pregunta implica volver a resolver el TISE, aplicar nuevas condiciones de contorno y volver a normalizar la función de onda. Luego proyectamos la nueva función de onda sobre la anterior y calculamos la superposición de las dos funciones de onda (función de onda inicial y final).

No puedo encontrar ninguna discusión sobre este problema en particular que me permita razonar mi forma de calcular una superposición entre la función de onda inicial y final. De ninguna manera. A menos que tenga experiencia en álgebra lineal, y pueda prever la necesidad de proyectar una sobre la otra, y encontrar mi camino lógicamente a la respuesta, no veo forma de que un estudiante sin experiencia con la física cuántica sea capaz de resolver esto por su cuenta. Tuve que usar Google hasta que encontré la solución a un problema similar.

O tal vez QM simplemente no es algo natural para mí. Se requiere mucha resolución de problemas en este tipo de cursos para que desarrollemos cierta "intuición" sobre qué esperar como resultados, qué hacer, etc. Todavía no entiendo completamente la lógica detrás de la solución del problema. .

Fenomenológicamente, hay una partícula dentro de la caja. Entonces, de repente, la caja se ensancha al doble de su tamaño. Sin embargo, la función de onda no cambia. Aunque la partícula tiene una caja más grande en la que moverse, la función de onda inicial no tiene en cuenta este espacio adicional y sería igual a cero cuando $x>L$ . Por lo tanto, no esperaría que la partícula se aventure mucho a la nueva región, si usáramos solo la función de onda inicial. O bien, el problema es que la partícula de hecho se aventurará allí (ya que $V(x)=0$ , y está físicamente permitido), pero no hemos considerado esto en nuestra normalización de la función? Por lo tanto, no tiene sentido calcular ninguna propiedad de la partícula con la función de onda "inicial", ya que esta es simplemente la función de onda incorrecta para el nuevo pozo.

Nuevas ideas y pensamientos.

Bien, entonces tengo que evaluar la integral.

C_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (X) Ψ (X) d X

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

dónde $\psi_1$ es la función de onda teórica para una partícula en toda la caja, es decir, de $0$ a $2L$ , y $\Psi$ es la función de onda para la partícula real, que es de $0$ a $L$ .

Ahora, puedo dividir esta integral en dos partes:

C_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (X) Ψ (X) d X = \int_{0}^{L} ψ_{1} (X) Ψ (X) d X + \int_{L}^{2 L} ψ_{1} (X) Ψ (X) d X

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx = \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx + \int\limits_{L}^{2L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

Vemos que dado que la función de onda de la partícula real no está definida cuando $x>L$ , el segundo término será cero, es decir, la función de onda está normalizada para $0<x<L$ , y las condiciones de contorno aseguran que $\Psi \rightarrow 0$ cuando $x=0$ y $x=L$ . Por lo tanto, la integral sobre se reduce a

\begin{aligned} C_{1} & = \int_{0}^{L} ψ_{1} (X) Ψ (X) d X \\ = \int_{0}^{L} \sqrt{\frac{1}{L}} pecado (\frac{π X}{2 L}) \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{π X}{L}) d X \\ = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_{0}^{L} pecado (\frac{π X}{2 L}) pecado (\frac{π X}{L}) d X \\ = \frac{4 \sqrt{2}}{3 π} \\ \Rightarrow C_{1}^{2} & = \frac{32}{9 π^{2}} \\ C_{1}^{2} & \approx 0.36 \end{aligned}

$\begin{align*} c_1 &= \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx \\ &= \int\limits_{0}^{L} \sqrt{\frac{1}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{L} \int\limits_{0}^{L} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} \\ \Rightarrow c_1^2 &= \frac{32}{9 \pi ^2} \\ c_1^2 & \approx 0.36 \end{align*}$

Creo que tal vez mi dificultad para "visualizar" el problema es que no entiendo completamente la expresión para $c_n^2$ , y cómo esto da la probabilidad de medir el nivel de energía $n$ .

Sé que parece que estoy divagando, y tal vez lo esté, pero espero que entiendas mi confusión. Agradezco cualquier ayuda!

Respuestas (4)

Pozo cuadrado infinito 1D: la caja aumenta repentinamente de tamaño. ¿Cómo tratar esto?

Ruslán · Answer 1

...no tiene sentido calcular ninguna propiedad de la partícula con la función de onda "inicial", ya que esta es simplemente la función de onda incorrecta para el nuevo pozo?

La función de onda no puede ser "incorrecta para el pozo". Su función de onda es solo una condición inicial para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Así es como evolucionaría si resuelves la ecuación dependiente del tiempo (ignoro la normalización aquí):

ingrese la descripción de la imagen aquí

Vemos que dado que la función de onda de la partícula real no está definida cuando $x>L$ ...

La función de onda está definida para todos $x\in\mathbb R$ . Es solo cero fuera de $(0,L)$ porque el potencial es infinito allí.

el segundo termino sera cero

Esto sigue siendo cierto, sin embargo, debido a lo que dije anteriormente.

la función de onda está normalizada para $0<x<L$

En realidad, nuevamente, la función de onda es un período normalizado . Está definido para toda la línea real y cero fuera del pozo, por lo que cuando normalizaste usando la integral sobre el pozo, es lo mismo que si integraras sobre $\mathbb R$ . Si no fuera así, su "normalización para algún dominio" no tendría ningún sentido, es decir, no sería una normalización en absoluto.

Tu cálculo adicional me parece bien.

Creo que tal vez mi dificultad para "visualizar" el problema es que no entiendo completamente la expresión para $c^2_n$ , y cómo esto da la probabilidad de medir el nivel de energía $n$ .

Que esto da la probabilidad de medir el nivel de energía $n$ se conoce como regla Born . Encuentra la proyección de su función de onda real en el estado propio de la energía, es decir, en el estado $n$ . Por la regla de Born, su magnitud al cuadrado es la probabilidad de que el sistema de medición aparezca en ese estado propio.

El hecho de que usó solo la función de onda original sin cambios para los cálculos, a pesar de que cambia drásticamente casi de inmediato a medida que pasa el tiempo, es que a pesar de su cambio de forma, sus coeficientes $c_n$ en realidad solo cambian su fase como

C_{norte} \propto Exp (- \frac{i}{ℏ} {mi}_{norte} t),

$c_n\propto\exp\left(-\frac i\hbar E_nt\right),$

pero permanece igual en magnitud, porque el potencial es independiente del tiempo. Por lo tanto, puede medir la energía después de que pase un tiempo y aún obtendrá el mismo resultado.

Ángulo de Eric · Answer 2

Me olvidaría del movimiento de la pared. El potencial es el pozo cuadrado infinito de ancho $2L$ (el potencial es $\infty$ aparte de la región $0 < x < 2L$ , donde es $0$ ), y la función de onda es

Ψ (X, t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X) Exp (- \frac{i {mi}_{norte} t}{ℏ}),

$\Psi\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \exp\left(-\frac{iE_n t}{\hbar}\right),$ dónde

ψ_{n} (x) = \sqrt{1 / L} \sin (n π x / 2 L)

$\psi_n\left(x\right) = \sqrt{1/L} \sin\left(n \pi x / 2L\right)$ es el

n

$n$ -ésimo estado estacionario, y

E_{n} = n^{2} π^{2} ℏ^{2} / (8 m L^{2})

$E_n = n^2 \pi^2 \hbar^2 / \left(8 m L^2\right)$ es su energía.

Para determinar los coeficientes $c_n$ , multiplicamos $\Psi\left(x,0\right)$ por $\psi_m^*\left(x\right)$ , integre y use la ortonormalidad de los estados estacionarios:

\int_{0}^{2 L} d X ψ_{metro}^{*} (X) Ψ (X, 0) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} \int_{0}^{2 L} d X ψ_{metro}^{*} (X) ψ_{norte} (X) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} d_{metro norte} = C_{metro}

$\int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \Psi\left(x,0\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n\delta_{mn} = c_m$ Si ese último paso es confuso, recuerde que es equivalente a usar la ortonormalidad de los vectores unitarios cartesianos

{\hat{e}}_{i} ∙ {\hat{e}}_{j} = δ_{i j}

$\hat{\bf e}_i \bullet \hat{\bf e}_j = \delta_{ij}$ para determinar los componentes

V_{i}

$V_i$ de un vector tridimensional

V

$\bf V$ tomando el producto escalar con

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ :

V ∙ {\hat{e}}_{i} = (\sum_{j} V_{j} {\hat{e}}_{j}) ∙ {\hat{e}}_{i} = \sum_{j} V_{j} δ_{j i} = V_{i}

${\bf V} \bullet \hat{\bf e}_i = \left(\sum_j V_j \hat{\bf e}_j\right) \bullet \hat{\bf e}_i = \sum_j V_j \delta_{ji} = V_i$ .

De todos modos, ahora usamos el hecho de que la función de onda inicial $\Psi\left(x,0\right)$ es el estado fundamental del pozo cuadrado infinito de ancho $L$ , cual es $\sqrt{2/L} \sin\left(\pi x/L\right)$ para $0 < x < L$ y $0$ de lo contrario. Entonces (nótese el cambio en el rango de integración),

C_{norte} = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_{0}^{L} d X pecado (\frac{norte π X}{2 L}) pecado (\frac{π X}{L}) = \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} d tu pecado (\frac{norte tu}{2}) pecado (tu),

$c_n = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_0^{L} dx \ \sin\left(\frac{n \pi x}{ 2L}\right) \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{n u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ o

C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} d tu pecado (\frac{tu}{2}) pecado (tu),

$c_1 = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ ya que tienes.

d_b · Answer 3

Parece que lo que te estás perdiendo es un ingrediente muy básico de la mecánica cuántica: la regla de Born. Cuando hacemos una medición de algún observable $A$ , encontraremos que $A$ toma valores en los valores propios $a_i$ del operador correspondiente $A$ . La regla de Born nos dice que, para un sistema inicialmente en el estado $\left|\psi\right>$ , la probabilidad de encontrar el sistema en el estado propio $\left|a_i\right>$ correspondiente al valor propio $a_i$ es $\left|\left<a_i|\psi\right>\right|^2$ . En notación matemática estándar, esto es $\left|(a_i,\psi)\right|^2$ , el producto interno entre los dos estados. En la base de posición, los estados son funciones de onda y podemos escribir su producto interno explícitamente como $\int\,dx\, \phi_i(x)\psi(x)$ .

marco ocram · Answer 4

La probabilidad de que una medición realizada en una partícula produzca la energía del estado fundamental es proporcional a la superposición entre la función de onda inicial y la función propia del estado fundamental. Entonces solo necesita calcular la integral de superposición entre el estado inicial y el final. Ya sea que integre todo el pozo expandido o solo su extensión original no expandida, no hará ninguna diferencia en el resultado, porque la función de onda original es cero en todas partes de la región expandida.

Pozo cuadrado infinito 1D: la caja aumenta repentinamente de tamaño. ¿Cómo tratar esto?

Yoda

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Ruslán

Ángulo de Eric

d_b

marco ocram

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